Debe haber algo mucho más simple, pero justo anoche estuve haciendo algo parecido en el pizarrón (repaso de álgebra matricial, polinomio característico).
Pongamos como ejemplo n=7 (más fácil de escribir) Escribimos (x + s1)(x + s2)... (x + s7)=x^7 + x^6 b6 + ... x b1 + b0
Se ve que los bi son justamente las sumas del problema. Entonces, nos están diciendo que el polinomio tiene todos sus coeficientes positivos. Pero si son sus raíces (cambiadas de signo). Las raíces de un polinomio con coef. positivo deben ser negativas. Ergo, si son positivos.
mmmm, el primer argumento como que no funciona muy straighforward porque podrias tener s1 y s2 negativos pero chicos comparados con el resto, de tal manera que todos los otros "compensen" y las funciones simetricas esas te queden positivas.
Yo me convenzo asi: el polinomio ese (x+s_1)(x+s_2)...(x+s_n) tiene todos sus coeficientes positivos, o sea que es creciente en x>0 (super-ejercicio), y como f(0) ya te da positivo, en la puta vida encontraras un cero positivo, ergo todos los s_i estan todos en el otro bando. \qed
Si se intercalan sumas y restas en el polinomio que le queda a hjg, sobre los números negativos se conserva constante el signo de P(x), lo que sigue es Bolzano. Saludos
Debe haber algo mucho más simple, pero justo anoche estuve haciendo algo parecido en el pizarrón (repaso de álgebra matricial, polinomio característico).
ResponderEliminarPongamos como ejemplo n=7 (más fácil de escribir)
Escribimos
(x + s1)(x + s2)... (x + s7)=x^7 + x^6 b6 + ... x b1 + b0
Se ve que los bi son justamente las sumas del problema. Entonces, nos están diciendo que el polinomio tiene todos sus coeficientes positivos. Pero si son sus raíces (cambiadas de signo). Las raíces de un polinomio con coef. positivo deben ser negativas. Ergo, si son positivos.
Donde dice "si" debería decir "s_i" (no puedo escribir subindices en comentarios.
ResponderEliminarhay que inventar el latex para los comments... igual se entiende bien!
ResponderEliminarvolviste a fiuba? (bah, si es que te habías ido)
nunca me fui ... del todo
ResponderEliminarparece por ahora que no hay manera confiable de tener latex en blogger, ya vendrán tiempos mejores - o no.
mmmm, el primer argumento como que no funciona muy straighforward porque podrias tener s1 y s2 negativos pero chicos comparados con el resto, de tal manera que todos los otros "compensen" y las funciones simetricas esas te queden positivas.
ResponderEliminarYo me convenzo asi: el polinomio ese (x+s_1)(x+s_2)...(x+s_n) tiene todos sus coeficientes positivos, o sea que es creciente en x>0 (super-ejercicio), y como f(0) ya te da positivo, en la puta vida encontraras un cero positivo, ergo todos los s_i estan todos en el otro bando. \qed
Si se intercalan sumas y restas en el polinomio que le queda a hjg, sobre los números negativos se conserva constante el signo de P(x), lo que sigue es Bolzano.
ResponderEliminarSaludos
Me confundí y lei mal... no hace falta que siga nadie, ni Bolzano.
ResponderEliminarSaludos
intercalando los menos, y evaluando en un negativo, queda todo positivo, no?
ResponderEliminar