1289.- Pasar al cociente (III)

"Start by doing what's necessary; then do what's possible; and suddenly you are doing the impossible." San Francisco de Asís

En definitiva, parece que para redondear un paper tenemos que cocientar aunque no vamos a cocientar. La idea funciona, pero un coautor se resiste a que en un paper suyo aparezcan esas palabras y otro propone que se reescriban las cosas utilizando "invariancias por grupos de transformaciones". Ya veremos cómo queda todo esto... igual la idea de introducir una especie de 'espacio de Sobolev proyectivo' es tentadora...

Por lo pronto, ya los miro a los cocientes de otra manera. Ahora les toca el turno a los diagramas conmutativos. Preparate, lema de la serpiente, pedile ayuda al de los cinco!

1288.- Pasar al cociente (II)

La cosa deja de ser sencilla cuando además de operar con los elementos del cociente, uno quiere introducir alguna noción más rara: una distancia entre elementos (del cociente), una topología, una medida, obtener una nueva estructura, o uno quiere hacer geometría con los elementos del espacio que quedó... qué se yo, lo que se les ocurra: estén seguros que alguien ya lo pensó.

Los ejemplos no son tan sencillos ahora. El cociente de un espacio de Banach por un subespacio cerrado es también un Banach. El cociente de un anillo conmutativo con identidad por un ideal maximal es un cuerpo. Mejor cuento uno sencillo...

Agarremos el espacio 'ambiente', R³, y las infinitas rectas que pasan por el origen. Cada una interseca a la esfera unitaria (la cáscara de la bola centrada en cero de radio 1) exactamente en dos puntos, x y -x. Un primer cociente posible es asociar a cada semirrecta un punto de la bola, pero mejor es hacer ahora un segundo cociente, asociando x con -x: así, a cada recta por el origen le corresponde un único punto. Lo que nos queda es el espacio proyectivo P(R³).

¿Y por qué este repentino interés en los cocientes? Bueno... tema para el próximo post, que obviamente no es el mismo próximo post del post anterior.

1287.- Pasar al cociente

Pocas cosas odié en la carrera más que cocientar. Jamás le ví alguna utilidad, fuera de la obviedad que representa embolsar los elementos de un espacio en distintas clases, y considerarlas luego a cada una como un solo elemento. Ejemplo: uno agarra los números enteros (... -2, -1, 0, 1, 2,...) y los separa en pares e impares, llama 0 a los pares, 1 a los impares, y listo. Se tiene Z₂, el cociente Z/2Z (donde 2Z es el anillo de los números enteros pares, (...-4, -2, 0, 2, 4,...).

¿Cómo se opera con estos números 0 y 1 que embolsan a todos los pares e impares respectivamente? ¿Cómo se suma, o se multiplica? Relativamente fácil: uno agarra números cualesquiera que representen las clases involucradas, se opera como siempre, y luego uno se fija en qué clase cae el resultado. A ver:

*) 0+0=? tomo dos pares (por ej., 2 y 6), los sumo (2+6=8) y me da otro par => 0+0=0.

**) 0+1=? tomo 4 y 5, los sumo y da impar => 0+1=1.

***) 1+1=? Ejercicio. (Da 0)

****) Verificar también que 0.0=0, 0.1=0 y 1.1=1.

¿De dónde mi odio a algo tan sencillo? Bueno... tema para el próximo post.