1589.- Palo y Palo

Los dos primeros capítulos de "The General Theory of Homogenization, A Personalized Introduction" reparten palos a diestra y siniestra. Vaya un ejemplo:

Mi nuevo punto de vista tiene la ventaja de evitar el uso de probabilidades. He comprendido que, la mayoría de las veces, la suposición de que existen factores aleatorios es una forma de esconder que uno no entiende mucho sobre la cuestión que está estudiando. A menos que uno agregue una frase que diga "por el momento, dado que hay algunas cosas que no entendemos, debemos utilizar probabilidades", y que señale "es posible también que trabajemos con ecuaciones que no son lo suficientemente buenas para describir los fenómenos que queremos estudiar", uno tiende a adeherir al punto de vista de que no es posible hallar las leyes que sigue la naturaleza, lo cual es una posición muy anticientífica, cercana a la deserción, pues el rol de los científicos es, precisamente, hallar las leyes que la naturaleza sigue en distintas situaciones.

La cosa no es sólo con los probabilistas. Uno de los paralelos que hace entre la física y la matemática es el siguiente:

Siglo XVIII -- Mecánica clásica -- Ecuaciones diferenciales ordinarias.
Siglo XIX -- Mecánica del continuo -- Ecuaciones en derivadas parciales.
Siglo XX --- Turbulencia, plasticidad --- ???

Viene después una serie de ¿por qué?s sobre el (mal) uso de ecuaciones diferenciales muy entretenido, y le pega a casi todos los que conozco que laburan en esto (yo incluído! no se vayan a creer que me salvo).

Incluso sobre la enseñanza en general, el libro arranca con el siguiente párrafo:

A menudo cito la parábola de los talentos de los Evangelios. Las parábolas son como teoremas generales, y pueden ser transmitidas por gente que no necesariamente entiende las distintas funciones de la enseñanza: si después de enunciar un teorema general uno da un ejemplo, los estudiantes flojos sólo entienden el ejemplo, mientras que los buenos estudiantes verán que el teorema se aplica a distintas situaciones. Los Evangelios muestran repetidamente que los discípulos de Jesús de Nazareth no entendían las parábolas, y con frecuencia pedían ejemplos.

Impresiona, también, que por este comienzo se ve obligado a aclarar más de una vez que es ateo desde los 13, y agrega la aclaración en la introducción como post scriptum para que los fundamentalistas ateos no abandonen su libro después de esas pocas líneas.


Los palos van, también, para los especialistas del área:

There are deluded people who think that Γ-convergence answered the question. Were they victims of saboteurs, who made them adopt the idiotic belief that every material which contains energy is elastic?

Está interesante, y estoy omitiendo mucho de lo que dice. No es común una declaración de principios como la que hace en el primer capítulo que escribe: 1 Why Do I Write?, y después vienen dos capítulos más donde detalla su interpretación del tema después de las décadas del '70 y del '80.

Sería divertido ver más libros así, y divertido no es la palabra correcta: tal vez sea importante, porque aporta la visión de uno de los fundadores de un tema, sus opiniones, y sus objetivos.

1538.- Jelp, Ainid sam Jelp...

i.- Cuál de los tres? Consejos / opiniones / sugerencias?

Calibre

Alfa Ebooks Manager

("impress your friends with your library" no es la mejor razón por la cual lo utilizaría... La versión 0.6 es full y no demo)

BookCAT

* * *

ii.- Alguien probó Mendeley? Muy 2.0, pero no se si me convence la idea de que los papers que leo y las notas que tomo estén online para todo el mundo.

Igual, qué bien me hubiese venido cuando me robaron la computadora! Tener un catálogo de las cosas que estaba leyendo y las leídas, con las notas que tomaba, hubiera sido ideal.

Lo descubrí buscando un paper en Google: décimo lugar en la búsqueda Ulam liar game, y el resultado fue esto.

(el jueguito de este post, si)

* * *

Upgrade 1538.1: Haga lo siguiente: baje e instale el Mendeley (no necesita registrarse, en ese caso parece que no comparte la info). Si no tiene 9 ó 10 papers en pdf u otro formato, vaya al arXiv y baje algunos al azar, de cualquier clase. Meta los papers en una carpeta. Cree una nueva base en el M, y que se morfe la carpeta. Enjoy!

(que ponga el título, los autores, editorial, tamaño... ok, lo que no me esperaba es que en una pestaña también listara la bibliografía!)

1487.- Cosas varias

Llevo varios días sin postear, y hay unas cuantas cosas para postear. Vamos con la primera.

Mañana jueves a las 19, en el Centro Cultural Recoleta, va a dar una charla Chaitin.




La charla es la apertura del Festival Matbaires. Durante todo el fin de habrá charlas, juegos, música (muchas charlas se relacionan con la música, conté 4), y algunas otras cosas. Viene gente de afuera muy buena, participan varios de por acá, y muchos del Depto de Matemáticas y del CBC se rompieron el lomo organizando las cosas.




En otro orden de cosas, el viernes a las 18 estaría presentando un libro en la Feria del Libro (esto que les comentaba por acá).




Tengo algún problema de horarios, porque según los cronogramas debería estar en dos lugares distintos al mismo tiempo, pero me quedan casi dos días para aprender a desdoblarme. Veremos que ocurre.

1485.- Godel para todos

Esta noche, a las 21 en la Feria del Libro, Guillermo Martínez y Gustavo Piñeiro presentan Godel para todos (la A dada vuelta no sé como se hace en html). Y a las 20hs hay firma de ejemplares en el stand de Planeta. Casi seguro que me voy a dar una vuelta.

* * *

Creo que Guillermo Martínez no necesita mayor presentación. El libro, en cambio, a juzgar por el índice no es lo que la mayoría de sus lectores -fieles u ocasionales- podrían esperar... El título y la intro prometen que el teorema de Godel va a ser explicados "para todos", la intro aclara que el "para todos" son todos: los que no conocen el teorema, los que tienen alguna idea, y también los que lo conocen en detalle. Como objetivo es más que interesante, y no tengo forma de verificar si se cumple, a lo sumo podría opinar desde la parte del público en el que me ubico.

* * *

A Gustavo Piñeiro creo que no lo mencioné nunca en el blog como tal, aunque lo conozco desde hace 15 años. Lo tuve incluso de docente, en una materia que abandoné: en mi defensa, aclaremos que el 2do parcial fue justo un día que se mantiene como el record histórico de temperaturas del mes de diciembre en Buenos Aires, motivo por el cual no asistí. De hecho, no salí de mi casa. Si no recuerdo mal, me quedé tirado delante del ventilador. En mi contra, digamos que no había aprobado el primer parcial. Y algo que habla peor de mí: si yo hubiese sido el docente, creo que tampoco hubiese ido...

Pero, aunque nunca lo mencioné por su nombre, algunas veces apareció por acá como el Topo Lógico, y no hace falta que vayan a los links a buscar su blog, se los dejo a mano, es éste.

* * *

Y hablando de blogs, el libro tiene el suyo: como era lógico, se llama Godel para todos.

1461.- Un par de libros

Un par de libritos científicos para descargar, casi todo en pdf (y casi todo en inglés): aquí

Por los derechos de autor no hay problemas, no creo que nadie haga quilombo, así que descarguen y/o linkeen tranquilos.

1445.- Episodio 100

Hace unos días fue la presentación del cuarto libro de la serie de libros de Paenza, Episodio 100 (¿cómo se llamará el próximo? ¿Episodio ve? ¿Episodio ka ke ki ko ku?)

Varios blogs se hicieron eco de la noticia, y comentaban que no había pdf. Pero basta poner episodio+100+paenza+pdf para que google nos indique rápidamente el link de descarga. Esta es la dirección donde están todos.

Supongo que se complicó llegar a ellos por el reciente cambio en el diseño de la página web del depto de matemáticas. Supongo, también, que Paenza no se enojará por difundir el link, no creo que le haga ningún daño. Una buena razón para suponer eso es la siguiente:

* * *

Paulo Coelho confesó a principios de año que pirateaba sus propios libros. Lo contó en Munich, en Digital Life Design, y su charla se puede escuchar acá [debería poner algún disclaimer... el link está a fin de que puedan verificar mi afirmación en caso de dudas, pero no les recomiendo que lo escuchen]. De hecho, en su propio blog linkea a piratecoelho, de donde se pueden descargar [acá debería ir otro disclaimer... de hecho no les recomiendo que los descarguen].

Según Coelho, las ventas se multiplicaron gracias a la disponibilidad en pdf de los libros [debería poner un disclaimer... no les recomiendo que los compren]. Y en principio, es muy creíble: son pocos los que se enganchan a leer por internet un libro completo, se hace incómodo e interminable. Y, desde ya, imprimirlo sale más caro que buscarlo en alguna librería, así que una vez 'ojeado' en vez de 'hojeado', conviene comprarlo para leerlo [acá también debería ir ya saben qué... no les recomiendo que lo lean a Coelho].

* * *

Espero que Paenza no sienta que lo estoy comparando con Coelho..., no se ustedes, ni él, pero yo sí me enojaría. Y en realidad no creo tampoco que (Paenza) permita bajar el pdf para aumentar las ventas, pero sin dudas no las perjudicará.

1375.- Citate una que sepamos todos

Claro, porque seguro que es oCvio qué dice acá:

Now then take hede, these certayne valewes every fygure representeth, when it is alone written without other fygures ioyned to hym. And also when it is in the fyrst place though many other do folowe, as for example, this figure 9 is ix standynge now alone.

(masomeno, de cuando cambiaron el equiselepalitovecorta por un 44).

Hoy le gané a los fragmentos de tres sonetos de Shakespeare. Si logro voltear eso, casi, casi que termino. Ahora tengo esperanzas, desde que descubrí ioyned = joined.

1343.- Libros (4)

Sigamos. No nos olvidemos de los homo monitorensis (clásicos por su facie cadavericae, conocidos por su capacidad para estar horas sentados tecleando frente a un monitor en un idioma que sólo las máquinas entienden). A primera vista, esta línea evolutiva reciente parece estéril, y por lo tanto condenada a la extinción. Falso! por cortes de energía y/o del servicio de internet se los ha visto desarrollar una protovida social y hasta contraer matrimonio.

Recomendar libros para estos humanoides es dificilísimo: no queda claro si están en involución o si, por el contrario, se trata del próximo estadio de la humanidad. Entienden los conceptos lógicos como si el propio Aristóteles se los hubiese explicado, aunque no siempre siguieron estudios formales. Quienes pasaron por una carrera universitaria afín vieron elementos de análisis, álgebra lineal, teoría de números básica, probabilidades, métodos numéricos, algo de matemática discreta... y que progresen en sus conocimientos matemáticos es peligroso: hay quienes defienden que la mátemática de este siglo no será humana sino computacional, y podemos adivinar en manos de quienes caerá.

Por lo pronto, como ya vieron (en mayor o menor profundidad) la mayoría de los temas del Courant-John (incluído en algunos casos Fourier y hasta la FFT que en ese libro no figura), no me queda otra que salir del análisis y recomendarles el excelente Concrete Mathematics, de R. L. Graham, D. E. Knuth y O. Patashnik.

Este libro se supone que contiene los 'pre-requisitos matemáticos' para leer The Art of Computer Programming, y en el prefacio cuentan cómo nació en un curso de DEK. La idea es introducir los conceptos de combinatoria y matemática discreta pero sin los formalismos habituales. Se puede leer sin saber análisis, álgebra, o teoría de números, y muchas veces la presentación es algorítmica; otro buen punto es la cantidad de citas, chistes, problemas,... que incluye, en especial los que aparecen todo el tiempo en el margen de las páginas^*. La única contra es que la notación no siempre es la standard, pero eso no será un problema para quien ve por primera vez ciertos temas ahí.

Si lo anterior no los convence de leerlo, cualquiera sea la cosa a la que se dediquen, prueben a leer el prefacio. Sigan o no, se habrán divertido bastante.

* Fermat me escribe indignado diciendo que eso no es bueno: se le ocurrió un demostración más corta de su último Teorema, pero no pudo escribirla en el margen porque había una frase de él mismo escrita ahí!

1342.- Grossitud matematica

Definición: un matemático (vivo) se dice grosso si

Tiene un centenar de papers,

una decena de libros,

es editor de una docena de journals.

bah... cualquier mediocre es capaz de hacer eso...

Linkea sus propios libros a bases truchas como gigapedia o mexmat (!)

yo ni siquiera linkeo los libros que recomiendo, snif... igual voy a seguir recomendando

1340.- Libros (3)

Ahora sí: ponele que un gorila llega a ser ingeniero, con título de verdad, reconocido por alguna universidad de cualquier parte del mundo. Seguramente habrá visto análisis en una y varias variables, álgebra lineal, un poco de probabilidades, algo de ecuaciones diferenciales y de análisis complejo. Con el tiempo, si no repasa algunos detalles, esto se le oxida en la cabeza.

Bien. Hasta que las técnicas de William Gibson se hagan realidad, no queda otra que refrescar los conocimientos metiéndolos en el cráneo a través de los ojos (preferentemente con la lectura de algún libro; las técnicas invasivas siguen sin dar resultados). Y la pregunta es, entonces, ¿qué libro elegir?

Acá no es fácil responder, sobre todo porque no hay ninguno que tenga todo eso. Se imprimen cada día libros de miles de páginas con cientos de ejercicios, gráficos a color, recuadros, dimensiones pornográficas de 10.7x8.2 pulgadas... y pocas demostraciones o teoremas bien enunciados; por lo general llevan títulos como "Cálculo y Geometría Analítica", y se los reconoce por ser libros mamotretos de prestigiosas editoriales escritos por autores desconocidos. Mi recomendación al respecto es: "ninguno similar a los anteriores".

¿Entonces? Si nos olvidamos de probabilidades, la mejor opción para reunir todo eso es el libro Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1 y 2, (originalmente, de Richard Courant con el título Differential and Integral Calculus; y por Courant-John en las versiones posteriores a su muerte^*). El libro tiene muchos temas más: series de fourier, aproximaciones numéricas, mucha geometría analítica, y algo de geometría diferencial. Mi edición tiene poco más de 1500 páginas, pero del tamaño usual, y no necesito despejar el escritorio si quiero abrirlo (ni entrenarme con pesas para levantarlo). Se puede leer en un tren o colectivo sin apoyarlo en las piernas del vecino.

Un factor importante es que separa las demostraciones muy rigurosas de las explicaciones intuitivas y los ejemplos, enchufándolas en un apéndice al final de cada capítulo que suele ser muy técnico. Otro, es el orden en que se ven los temas, poco usual. Para refrescar (y ampliar) conocimientos, es excelente. También se puede utilizar para empezar de cero, suponiendo que uno tiene una buena base del secundario.

* La muerte de Courant, claro. Fritz John murió en 1994, y hasta donde sé, nadie curró actualizándolo.

1339.- Mas libros

Hagamos una pausa en las recomendaciones, no da empezar el post diciendo:

Ponele que un gorila llega a ser ingeniero, con título de verdad, reconocido por alguna universidad de cualquier parte del mundo...

Es imposible -al menos en esta parte del mundo- no asociarlo a la realidad política argentina de los últimos 60 años (desde la ingeniera devenida ecologista fracasada, hasta el casi ingeniero experto en seguridad, sin olvidarnos del intendente que mira las cosas como si economía=no gastar). Y no sé si un extranjero -Otis, por caso- debe perder un par de años en tratar de entender este fenómeno único.

Pero el que quiera intentarlo tiene un par de textos a su disposición: No habrá más penas ni olvido, de Osvaldo Soriano; y especialmente, Cuentos de los años felices del mismo autor.

* * *

Ayer bajé Cuentos de los años felices, y releí esas historias que me habían enganchado desde la contratapa de Página 12. Historias escritas de un Soriano de cuando era chico y su padre tenía la edad que él tiene al momento de escribirlas, y la relación con este padre (¿hasta qué punto ficticio?) vista desde los sueños de crecimiento económico del país, las opiniones políticas, las idas y venidas de un país que no se decide a hacer las cosas en serio donde un gobierno que sube -sea quien sea- voltea lo que el otro hizo e inicia un nuevo proyecto grandioso que no podrá terminar (ya que será destruído por el gobierno siguiente).

Me impresiona haber leído algunas de esas historias hace casi 20 años. Mi pueblo tenía una biblioteca popular, una institución que hoy sería imposible fundar: uno de los pocos edificios de dos plantas, (o tres, mejor dicho) 50 mil volúmenes distribuidos desde el piso hasta el techo, carpintería de calidad. Durante años, ahí se compraban o recibían los diarios, pero la crisis de los '80 restringió su compra. Cornetín (o La Oligarcación, pero sólo uno al día) se recibían con la primer página mutilada: el encabezado se devolvía como muestra de que el ejemplar no había sido vendido. Página 12, en cambio, llegaba como donación. Cosas del pueblo: el distribuidor oficial de diarios y revistas no lo traía, tal vez porque era demasiado zurdo para su gusto. Tampoco me trajo nunca la Humor y Juegos, pese a que se la pedí personalmente un par de veces. ¿Para qué molestarse en contactar una editorial, si iba a vender un único ejemplar? P/12 lo distribuía otra persona, que más adelante instaló una de las primeras FM (truchas, para la época), y venía con el sello de "ejemplar sin cargo", donado probablemente por el propio diario. Y todo se terminó con la venta del diario a sus dueños actuales.

* * *

Cuentos de los años felices tiene tres partes: fútbol, historia argentina, y estos cuentos ubicados entre 1940 - 1960. Esos son los que quisiera recomendar para un ingeniero, sea gorila o no. Peronismo, antiperonismo, desarrollismo, el Che, la nacionalización del petróleo... todos estos temas desfilan por los cuentos Aquel peronismo de juguete, Gorilas, Vidrios Rotos...

Cero matemáticas, física, ciencia. Cero literatura, agregará alguno. Pero mucho espíritu "ingenieril" vivo en los personajes, capaces de destruír una radio o uno de los primeros televisores para entender cómo funcionaban.

1338.- Libros (2)

Supongamos que un primate llegó a hacer los dos primeros años de una carrera de informática, ingeniería, o economía [en mucha menor medida, vale también para físicos, químicos y matemáticos; la gran diferecia es que estos saben que hay más cursos de matemáticas]. En tal caso, habrá visto los rudimentos del álgebra lineal y del análisis matemático: sabe resolver sistemas, trabajar con matrices, derivar, integrar, buscar máximos y mínimos, y tiene nociones básicas de ecuaciones diferenciales...

Nuestro primate casi habrá alcanzado la categoría de hombre culto según los parámetros de la Ilustración, y como sabemos, eso se caracteriza por una confianza desmedida en los métodos matemáticos y una fe injustificada en la razón. Es más difícil discutir con esta gente sobre los transfinitos que con un abogado; suelen creer que las matemáticas terminan ahí, y hablarán pestes de los delirantes matemáticos que creen en cosas como la paradoja de Banach Tarski.^*

Conste, no sea cosa que se malentienda, que el problema no son quienes llegaron a hacer los dos primeros años de una carrera de informática, ingeniería, o economía, sino los que creen que ahí se termina el mundo. No está mal señalar que quien siga adelante, ya sea cursando o simplemente informándose, encontrará más matemáticas disfrazadas con el ropaje de su carrera: el economista no calculará áreas, sino excedentes de productores/consumidores, y verá más estadísticas; el ingeniero puede tener un bias hacia las ecuaciones de la física, y mejores ideas de probabilidad; el computador tendrá conocimientos extra de lógica y de matemática discreta. Al seguir adelante, esta gente descubrirá conceptos matemáticos propios del siglo XX.

Con muy poco esfuerzo, ya que esos dos años le dieron las herramientas, el primate este puede conseguir un mejor panorama de las matemáticas. El libro indicado -donde no va a encontrar muchas demostraciones, pero sí muchísimas ideas- es el de Courant y Robbins, What is mathematics?.

[Si alguien que no pertenece a este estrato ya ha leído el anterior de Kasner y Newman, también puede intentar leerlo. El esfuerzo vale la pena, y le evitará caer en esta categoría de infraseres empatanados en uno de los círculos infernales de la matemática.]

* Uno puede verlos en foros y blogs e identificarlos fácilmente por el énfasis que ponen al opinar sobre aquellos temas que ignoran. En un próximo post voy a poner el que considero que es el summun de esta clase de comentarios.

1337.- Episodio 3.14159...

Aparece el tercero de Paenza y, una vez más, está disponible en la red. Se puede downloadear de acá.

Todavía ni lo miré, me acabo de enterar gracias a Tibu.

1336.- Libros (1)

Pide Otis que le recomiende libros de matemática, y si bien es una lista que muchas veces quise hacer, no se si responderá a las necesidades del caso. Por lo pronto, intentemos cubrir apenas dos áreas.

A ver... imaginémosnos un hipotético lector de Gardner, que encuentra de golpe que los argumentos para resolver ciertos problemas pasan por encima de lo que sabe, o peor aún, de lo que algún día supo. La situación varía mucho si este hipotético lector es abogado, informático, ingeniero (en alguna cosa), físico, matemático, algebrista, o analista.

Antes de seguir, aclaremos, no hay que ver en ese orden una escala evolutiva: es bien sabido que quienes alcanzan una estapa cualquiera de éstas creen haber llegado al pináculo de la vida inteligente, trascendiendo incluso la raza humana, y no pretenderían jamás cambiar a otra, lo cual sería a sus ojos una involución.

El abogado la tiene especialmente difícil: como no vio las definiciones mínimas, se tendrá que inventar sobre la marcha todo lo que necesite. Cuando termine, se corre el riesgo de que defienda a muerte su solución (sea o no correcta) con las herramientas adquiridas de la sofística en lugar de aquellas de la lógica^*.

Hay temas en los cuales a un abogado (y a otros seres varios, que incluyen seres humanos) le puede fallar la intuición: conjuntos infinitos, la noción de derivada, el área bajo una curva, ya que las conclusiones 'lógicas' al trabajar con límites o series suelen ser ilógicas. No se pretende que sepa hacer las cuentas, para eso podría cursas Análisis 1 en cualquier universidad razonable donde eso sea un curso de análisis en una variable.

Para alguien así, no le vendría nada mal leer un libro como el de Kasner y Newman, Matemáticas e imaginación. Tampoco le vendría mal leer los que sigan en esta lista, pero debemos marcar un mínimo de donde partir para quienes no tuvieron estudios en matemáticas.

* El abogado modelo sin dudas fue Fermat. Recordemos, de paso, que no consideraba necesario escribir las demostraciones formalmente, ni siquiera comunicarlas a otros.

1305.- Analisis posmoderno

Postmodern analysis, de J. Jost (3er ed. Springer, 2005), es excelente. El prólogo aclara el por qué del título, y lo traduzco abajo para los interesados.

Más allá del contenido (los apéndices del Evans de EDP desarrollados, definición de los Sobolev, regularidad de sol. débiles, ppio. del máximo y autovalores del laplaciano en 350 páginas, lo cual lo convierte en un excelente punto de partida para leer este otro gran libro -aunque él tiene también su propio libro de EDP) el análisis que hace es uno de sus puntos fuertes (otro, los ejercicios que tiene), y se liga con algo que venía pensando.

Hace poco leía un libro de "dinámica no lineal para físicos" (unas 200 pág., de unos autores rusos) y quedé impresionado. Aprendí mucho de ese pequeño texto, donde casi no había teoremas y/o demostraciones, sino intuiciones, ejemplos "con los dedos", "trivialidades" -como la que vinculaba el péndulo con los solitones-, o una deducción del Poincare map muchísimo más efectiva que la definición formal que uno acostumbra ver en los distintos textos (no muy distinta a ésta). A medida que lo leía, me impresionaban las cosas que me había perdido cuando estudié algunos de esos temas, y me preguntaba por qué no se las encontraba en los libros habituales de matemáticas. Este prólogo explica algo al respecto, y el libro debería ser leído por los interesados en el análisis y no en el análisis del análisis.

¿Qué quiere decir el título del libro, qué connotaciones tiene el adjetivo "posmoderno"? Un lector potencial seguramente plantee esta cuestión. Para responderla, debo distinguir el enfoque del análisis presentado aquí del que sus protagonistas llamaron "analisis moderno". El "Modern Analysis", como se lo ve en los trabajos del grupo Bourbaki o en los textos de Jean Dieudonne, está caracterizado por un tratamiento sistemático y axiomático, y por su marcha hacia niveles de abstracción cada vez mayores. Dada la tendencia de muchos tratados de análisis previos de degenerar en una colección inconexa de trucos para resolver problemas especiales, esto representó un logro saludable. En todo caso, para el desarrollo de una teoría matemática consistente y poderosa, parece ser necesario concentrarse exclusivamente en los problemas internos y estructuras y descartar por un tiempo las relaciones con otros campos de la ciencia, aún de las matemáticas. Se requiere una aislación casi completa para alcanzar ciertos niveles de elegancia intelectual y perfección que sólo una buena teoría matemática debe adquirir. Sin embargo, una vez que este nivel ha sido alcanzado, puede ser útil abrir los ojos otra vez para inspirarnos en problemas externos concretos. El enfoque axiomático comenzado por Hilbert y continuado y perfeccionado por Bourbaki nos ha conducido a algunas de las más importantes contribuciones matemáticas de nuestro siglo, notablemente en el área de la geometría algebraica. Este desarrolo sin dudas fue beneficioso para muchas áreas de las matemáticas, pero no para otras. En geometría, la poderosa herramienta de la imaginación visual ha sido descuidada, y fenómenos globales nolineales conectados con curvatura no siempre son considerados en forma adecuada. En análisis, también, tal vez se ha puesto demasiado énfasis en la teoría lineal, mientras que los problemas genuinamente no lineales fueron considerados demasiado diversos para ser subordinados a una teoría sistemática que los englobara. Este efecto fue particularmente notable en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales. Esta rama de las matemáticas es una de las que ha desarrollado la interacción más activa y estimulante con las ciencias, y aquellas ecuaciones que aparecen en las aplicaciones científicas típicamente exhiben una estructura genuinamente nolineal dadas las interacciones y otros efectos.

Así, la matemática moderna se ha comprometido con su propia estructura interna, y ha alcanzado un gran éxito ahí, pero tal vez ha perdido un poco de la estimulación que ofrece una interacción con las ciencias. Parcialmente esto se ha revertido en los últimos años, y en particular se han formado lazos bastante estrechos con ciertas áreas de la física teórica. También, en la investigación matemática, el énfasis se ha corrido un poco de las teorías generales hacia problemas más concretos que requieren métodos particulares.

Por lo tanto siento que sería apropiado presentar una introducción al análisis avanzado que preserve los logros de la teoría que se llamó a si misma "moderna", pero al mismo tiempo trascender sus limitaciones.

Durante siglos, "moderno" significó en las artes y las ciencias "nuevo", "diferente de lo antiguo", incluso "revolucionario", y por lo tanto fue un calificativo que constantemente se corrió de una escuela a su sucesora, y nunca se estancó con un estilo artístico o un paradigma de investigación. Esto sólo cambió en nuestro siglo, cuando lo abstracto fue llevado al extremo en la arquitectura y otras artes. En consecuencia, en cierto sentido, toda nueva teoría o dirección no puede avanzar más en ésta, sino que debe dar un paso atrás y retomar algunos de los logros de las teorías "premodernas". Así, la denominación "moderna" quedó ligada a un estilo particular, y la generación siguiente tuvo que llamarse a sí misma "posmoderna". Como argumentamos arriba, la situación en matemáticas es comparable, y por lo tanto parece lógico llarmar "posmoderno" a un enfoque que pretenda construir sobre los logros de la teoría moderna, pero que al mismo tiempo intenta descartar sus exageraciones.

Por supuesto, la palabra "posmoderno" no tiene un significado positivo ya que trae ciertas connotaciones de ser una mezcla de estilos arbitraria y sin principios. Déjenme asegurarle a los potenciales lectores que no se intenta hacer eso. En cambio, deseo dar una introducción coherente al análisis avanzado sin abstracciones inútiles que constituya una base sólida para las áreas de ecuaciones en derivadas parciales, el cálculo de variaciones, el análisis funcional, y otras áreas del análisis, como también para sus aplicaciones a problemas analíticos en las ciencias, en particular los que involucran efectos nolineales.