1516.- Experimento (II)

Siguiendo los comments del post anterior, no me queda claro si es que no ocurrió nada, si pasaron por alto algo que sí ocurrió, o si es que el entorno los condicionó con sus burlas o miradas de reproche.

Convengamos que no es normal ver a una persona grande jugando sola a los pistoleros frente a un monitor/notebook/blackB/compañeros de oficina... Peor un amigo: le pasé las instrucciones por teléfono, y se le escapó el celular a la mier..., no, me corrijo: se le hizo mierda contra la pared cuando se le escapó.

Lo probé con otro amigo en persona, y observé un patrón interesante: a cada rato, reajustaba el brazo izquierdo, casi sin darse cuenta lo paraba un instante y seguía. En el fondo, no se soltó lo suficiente, y pretendía preservar el movimiento alternado. Cuando uno se olvida de eso, las manos comienzan a subir y bajar simultáneamente.

Y ese era el punto a observar. Seguro que si lo repiten ahora lo ven: es muy difícil mantener el movimiento alternado cuando ganan velocidad, y en el modo automático las manos se sincronizan "en fase".

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Con el puño cerrado logré mantener el movimiento alternado. No se si es casual, o qué. Tal vez el hecho de mantener el índice extendido nos distrae y nos hace cambiar el ritmo de oscilación, no se.

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Supongo que con mucha práctica se puede alterar esto para mantener el ritmo alternado (es el caso de los bateristas). Ahora, sin entrenamiento, se hace difícil mantener un ritmo distinto a los dos 'básicos' suben y bajan a la vez (1 1), o alternadamente (1 -1). Sin práctica es casi imposible lograr patrones sencillos tales como (1 2) donde un dedo baja dos veces por cada una del otro, y mucho menos (2 3) donde en el tiempo que un dedo sube dos veces, el otro sube 3 y coinciden en cada ciclo.

La mejor forma de ver lo difícil que resulta es marcar un ritmo pegando con los dedos en el borde del escritorio/notebook/blackB/etc, cosa que se logra sin mucha dificultad, pero mantenerlo 'en el aire' se complica, y peor cuando aceleran el movimiento de la mano (de hecho, no recuerdo ningún solo guitarra eléctrica o de batería a toda velocidad donde un mismo dedo o mano se mueva dos veces por cada una del otro. Ojo que tampoco conozco mucho del tema, así que tal vez haya miles, les agradecería que me avisen si conocen uno!

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Ahora, ¿quieren probar otra vez, si a bien tienen?

1515.- Experimento

(para hacer mientras lee el post)

i.- Saque las manos del teclado

ii.- Cierre los puños

iii.- Extienda el índice de la mano derecha (apuntando al monitor, digamos)

iv.- Suba y baje lentamente el dedo (moviendo toda la mano) como diciendo "te lo dije".

v.- Usted no me dijo nada, pero no me distraiga: extienda ahora el índice de la otra mano.

vi.- Cervantes, usted no lo haga, vaya a escribir el Quijote.

vii.- Ponga a oscilar el otro dedo también.

viii.- Logre que ambos dedos suban y bajen rítmicamente pero en forma alternada (moviendo toda la mano), como si disparase en el salvaje oeste a cientos de indios que giran alrededor suyo.

ix.- Baje los pulgares, y deje de decir "bang, bang": no se ve muy serio jugando a los cowboys en el escritorio. ¡Y no haga girar la silla!

x.- Ahora...

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Ok, si tuvo que frenar y abrir las manos para hacer avanzar la página, vamos de nuevo.

a.- Suba y baje rítmicamente pero en forma alternada los dedos índices (moviendo toda la mano), como si disparase en el salvaje oeste a cientos de indios que giran alrededor suyo.

b.- Acelere el movimiento, más rápido, otro poco más, todo lo que pueda, vamos, otro poco... (hasta perder consciencia de estar ordenándoles a las manos que suban y bajen)

c.- Frene.

d.- Por favor, vaya a los comments y anote qué observó.

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Ok, un último experimento: repítalo con el puño cerrado, no extienda ningún dedo.

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Ejercicio: demuestre la posible existencia de bateristas en las bandas de heavy metal, y la no existencia de pistoleros en las películas de Hollywood que disparen repetida y velozmente con un arma en cada mano.

1364.- El problema de Gauss (2)

Vamos a la relación del problema de Gauss con el problema de contar cuadraditos en el círculo. Para simplificar, supongamos que contamos sólo los cuadrados del 1er cuadrante.




Si pensamos que cada punto de coordenadas enteras (m,n) dentro del círculo es el vértice superior derecho de un cuadradito, por cada par de enteros tales que m² + n² es menor R, tenemos un cuadradito de áera 1, y podemos acotar el número de cuadraditos o pares (m,n) a lo bestia a la Gauss, diciendo que es menor que pi R/4, un cuarto del área del círculo.

¿Qué error cometemos? Siguiendo a Gauss, estimemos por debajo el área que cubren los cuadraditos. Si el vértice superior derecho de un cuadradito cayó fuera del círculo, el inferior izquierdo está como mucho a distancia \sqrt{2} del borde. Pensando un poquito en esto, llegamos a la conclusión de que toda el área dentro del círculo de radio \sqrt{R}-\sqrt{2} está cubierta con cuadraditos, y por lo tanto, es mayor a
pi R/4 - 2\sqrt{2}\sqrt{R}/4.

En definitiva, la cantidad de puntitos está ensanguchada entre pi R/4 - 2\sqrt{2}\sqrt{R}/4 y pi R/4. Mejorar la estimación es lo que se conoce como el problema del círculo de Gauss. Se sabe que el error no es R^1/4, pero se cree que está arbitrariamente cerca (eso mas épsilon para cualquier épsilon). Por ahora, sólo se tienen valores cercanos a 1/3.

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Corregir los puntos que faltan es sencillo, se agregan 4[\sqrt{R}], parte entera de \sqrt{R} (y si uno agrega a lo bestia \sqrt{R}, el error es menor a 4, despreciable al lado del otro que depende de \sqrt{R}).

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Hernán hizo un razonamiento sobre el área que se perdía en cada cuadradito al ser intersecado por el borde del círculo y proponía que era menor o igual a un medio, y suponía que estaba uniformemente distribuida. Asi llegaba él a una estimación similar a la de Gauss.

La estimación no está nada mal, y de hecho es la correcta si uno cambia el círculo por otro conjunto convexo (ehh... sí, eso... dos puntos dentro del conjunto se conectan por un segmento que está dentro del conjunto): para un cuadrado, el error crece como \sqrt{R}: si pensamos en una recta horizontal (o vertical) que se mueve, va barriendo el área de un cuadradito, y en promedio deja 1/2 afuera.

Ahora, entre una recta (cero curvatura, perfectamente plana) y un círculo (perfectamente curvado) uno puede ir metiendo otras curvas, y el exponente depende de su curvatura, ahí es donde varía desde el 1/4 hasta el 1/2. Explicar el por qué de esto no es nada sencillo, así que no lo voy a hacer.

Pongo en los tags 'ecuaciones diferenciales', porque aunque no lo crean, tienen mucho que ver con todo esto.