584.- El problema 16 de Hilbert (2)

Comentaba en el post 581 que un matemático señala errores en la demostración de EO. Sin el paper, no puedo decir si tiene razón, pero la crítica que le hace habla de 'despreciar términos' en una ecuación sin hacer un trackback del error. Si bien suena técnico y difícil, la idea es simple y muy bien conocida en matemáticas desde hace años. Voy a tratar de explicar la idea con un ejemplo sencillo, que alcanza con lo que uno sabe del secundario.

Si uno tiene que resolver un problema y no sabe cómo, lo mejor es simplificar el problema. Esto tiene tres etapas:

a) Identificar los términos que parecen chicos
b) Borrar los términos que parecen chicos
c) Ver si el resultado es razonable

La crítica de GR es que EO no hizo el 3er paso. Sólo tiró los términos que le molestaban, y calculó con lo que quedaba. Pero hay que hacer el punto c), de lo contrario, uno se puede llevar sorpresas.

Vamos a un ejemplo. Hay que hallar x e y que cumplan estas ecuaciones:

x + 10 y = 21
5x + y = 7

Como el término x parece chico al lado de 10y, uno lo borra: ahora 10y = 21 nos dá y = 2.1. Reemplazamos el valor en la segunda, y calculamos 5x + 2.1 = 7, de donde x = 4.9/5 = 0.998

Para chequear si es razonable, en la primera dividimos todo por 21, con lo cual el x calculado divido 21 es 0.05, es decir, era chico y por lo tanto despreciable. De hecho, la solución exacta es x=1, y=2, muy cerca de la aproximada.

Ahora, hagamos la cuenta con:
x + 100y = 10
x + 101y = 11

Igual que antes, tiramos x, con lo cual y=0.1, vamos a la de abajo, x =0.9 ¿no?

Pero la solución verdadera es y=1, x= -90 (!), y el error es monstruoso.

[Estos ejemplos los saqué de un artículo de Segel, en el Siam Rev. Vol 14 del '72, pero los libros de análisis numérico están llenos de otros similares.]