1430.- El jardin de los senderos que se bifurcan

Una bifurcación, aún en matemáticas, es algo sencillo de describir: alcanza con unas pocas palabras. Qué digo palabras... unas pocas letras.

Una letra Y tiene una bifurcación en el punto donde se juntan los tres segmentos: el que sube, se bifurca en otros dos. La K es más compleja: un segmento vertical y un punto de bifurcación doble, de donde emanan dos nuevas curvas. La P lo es aún más: la curva que bifurca va y se cierra sobre el extremo superior del extremo vertical. Peor la R. Y la f es un caso extraño: el segmento vertical dobla, alejándose hacia la derecha, mientras en el centro del segmento se bifurca en ambas direcciones.

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[Pensemos en una matriz A, y en el sistema lineal A.x = c.x, donde c es un número y x es un vector. Para todo valor de c existe una solución del problema: el vector x=0.

Pero de vez en cuando aparecen valores de c para los cuales existe alguna solución x_c distinta de cero. Es más, por linealidad (homogeneidad, para ser estrictos), todos los múltiplos de x_c son soluciones, incluído el vector x_c = 0. Estos valores son tan especiales que se los llama autovalores.

También se puede pensar en estos valores de c como puntos de bifurcación: si pensamos las soluciones del sistema en función de c y x simultáneamente, la línea vertical (0, c) del plano x-c pertenece a las soluciones para todo c, y en cada autovalor c_i, se agrega la recta horizontal (x, c_i). El diagrama de bifuración parece un peine, con rectas horizontales alejándose paralelas (si bien continúan tanto a izquierda como a derecha, no sólo en una dirección, como el trazo central de la letra f).

Los autovalores -que tanto me gustan- son la clase más aburrida de bifurcación.]

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Y ahora, atento y querido lector, con más espíritu de matemático de lo que se imagina si aguantó hasta aquí... ¿será posible una curva o diagrama donde todo punto sea de bifurcación? ¿será imaginable semejante monstruo, lugar único para leer un libro de arena?

1429.- El se ve ir

Empiezo por recordarles la existencia del SciGen, un programita que genera papers automáticamente, y del que hablamos por aquí hace mucho (Scientific Bullshit Generator, lo llamaría pseudópodo).

Ahora, la razón del post: una revista de una muy conocida editorial, con un impact factor de 0.8 (que en matemáticas no es poco), aceptó el año pasado un paper escrito por este programa. El paper se puede ver aquí, y la retractación de la revista (cuando se supo que era en joda) está aquí.

Ok, entonces, ¿qué demostró Sokal? ¿Que los científicos sociales no son serios... como nosotros?

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Un dato aparte, casi para economistas, a ver si le encuentran un por qué: esta editorial publica, entre muchas otras, tres revistas de mejor categoría (e impact factor, sea lo que sea que esto mida), Adv. in Math, JDE, JFA. Todas ellas son más baratas que este journal...

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Otro dato aparte, a ver si lo verifican que hoy me olvidé: ¿este paper sigue 'a la venta', uno puede descargarlo pagando U$S 31.50 a la editorial? No me consta si se abre el paper o venden el anuncio de que fue "removed" (en algunos papers "removed" a los que tuve acceso, ofrecen el paper original). No se qué sería peor.

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Y un dato para un post aparte: impresiona la cantidad de removed papers. Alguno apelará a la "auto-corrección" propia de la ciencia y boludeces por el estilo. No: son removed papers, en la enorme mayoría de los casos sin más explicación, sólo el cartelito de "removed".

1428.- Los problemas de Venus (IV)

Ponele que te casás, por error te declaran oficialmente muerto, y cuando reaparecés, tu mujer ya está casada con otro.

Depende de la mujer, eso puede ser una bendición, claro está.

Pero si te querés casar con otra (o con la misma), aunque te revivan en los papeles, legalmente ya estás casado. Exactamente eso es lo que le pasó a Guillaume Joseph Hyacinthe Jean-Baptiste Le Gentil de la Galaisiere en el siglo XVIII.

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Sospecho que cuando empezó a rellenar los formularios para ser declarado vivo le habrán preguntado si no prefería un nombre más corto, ponele Guille, o Pepe. De última, Cacho.

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Es que Guille se tomó el buque de París con destino a una colonia francesa del sur de la India, Pondicherry, en 1760. Iba decidido a medir el tránsito de Venus del año siguiente. Cuando llegó a la Ile de France (hoy Mauricio), supo que Inglaterra y Francia estaban en guerra, pero igual se arriesgó a seguir.

¿Que no hay colonias francesas en el sur de la India? Ajá, cuando él llegó, Pondicherry había cambiado de mano y lo despacharon de vuelta a Mauricio. Pero por culpa del movimiento del barco, no pudo hacer mediciones del tránsito de Venus.

Guille no se preocupó mucho, faltaban ocho años para el próximo tránsito, y decidió ir a medir el de 1769 a las Filipinas. Pero los españoles lo miraban feo, y aprovechando que en 1763 Pondicherry volvió a manos francesas, decidió mudarse a su destino original. Llegó un año antes, se construyó un modesto observatorio, y se sentó a esperar a Venus.

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El 4 de junio de 1769 amaneció... nublado.

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Guille decidió volver, pero no fue fácil: primero disentería, después una tormenta le hundió el barco, y pasó dos años en la Isla Reunión hasta que le hizo dedo a un barco español que lo acercó a Europa.

Cuando llegó, lo habían declarado muerto, su mujer se había vuelto a casar, y sus bienes se habían repartido entre sus herederos. Encima el boga que administró los bienes se había afanado bastante.

Para colmo, la Academia de Ciencias le había dado su cargo (su silla) a otro.

Pero tenía palanca en el poder: el propio Rey de Francia le devolvió una parte de su vida. Se volvió a casar, recuperó su posición en la Academia, y vivió unos veinte años más.

Seguramente puteaba bajito los días nublados, no sé. Yo lo haría.

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Sospecho que hay miles de historias como ésta, de arruinados por la ciencia. Tipos que persiguieron un objetivo durante años, fracasaron, y se encontraron de pronto sin nada. Pocos son amigos del Rey de Francia, como para recuperar su carrera.

Es difícil detectar estas historias: nos quedamos con los grandes nombres, como si todo lo hubieran hecho ellos, y nos olvidamos del entorno que los rodeó, de los que fueron anticipados por otros, o de los que tomaron una vía muerta. O de los que un día se levantaron y simplemente estaba nublado.

1427.- Otro paper del arXiv

Encuentro una demostración "rara" del Teorema de Heine-Borel (en R^N, compacto = cerado + acotado) en un paper de agosto.

En la cuarta página, termina con la siguiente recomendación a los estudiantes que lo hayan leído: cuando el docente haga la demostración clásica, levanten la mano y pregunten

"Doesn't that just follow from Konig's infinity lemma, and the standard ultrametric on the space of binary sequences?"

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El Konig's infinity lemma -que no conocía- es interesante: en un árbol infinito donde cada nodo tiene finitos links, hay un camino de longitud infinita. Detalle: si los nodos no son numerables, hace falta el axioma de elección para probarlo.

Los ultramétricos son espacios interesantes: dados x, y, z, la distancia entre x e y es menor que el máximo entre dist(x,z) y dist(z,y). En la demostración lo usan bien, y este es ahora uno de los pocos ejemplos que conozco de su uso que no sea artificial.

Igual, me voy a comprar balas por si algún día alguno levanta la mano y pregunta...

1426.- Los problemas de Venus (III)

Que Venus presentara fases tenía consecuencias interesantes: 1ro, no generaba su propia luz; 2do, según la forma de las mismas, se podía intentar deducir dónde estaba.

Pero las cosas no eran sencillas: no había una teoría de la visión, ni una óptica. No se entendía el mecanismo de formación de las imágenes, y cosas que hoy nos parecen obvias, no lo eran en esa época: si la Luna no era una superficie suave, pulida como un espejo, ¿cómo refleja la luz? ¿por qué la luz a veces se descompone o cambia de dirección al cruzar un vidrio? ¿por qué a veces la imagen se invierte? Y así como el telescopio mostraba cosas que no se veían sin él, no mostraba cosas que sí se veían sin el telescopio.

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Kepler va a ser el primero en intentar responder estas cosas. Su Dioptrice de 1610/11 inicia la óptica geométrica y la teoría de la refracción. Pero está lejos de poder responder todas las objeciones (racionales) contra el telescopio. Faltaba que Snell (1591-1626) formulara su ley de refracción (cerca de 1621), cuantificando las deformaciones que de lo contrario parecían arbitrarias. Y ésta se explicaría con el principio de tiempo minimo de Fermat (1601-1665) recién en 1662.

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La refracción era un gran argumento en contra de los tamaños observados con el telescopio. Chiaramonti, Ptolemaico a muerte, lo atacaba en 1630/3 por entender que esto distorsionaba las imágenes.

Una paradoja: el chabón describió las fases de la luna perfectamente, y manejaba toda la matemática necesaria para entender estos temas; pero le faltaban pruebas independientes, y ponerse a trabajar un poco en las cuentas.

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Ahí es donde vuelve a entrar Kepler y el tránsito de Venus: lo calcula, y su observación elimina la posibilidad de que esté girando más allá del sol. Si se puede observar, ya está. Además, si uno puede medir bien cómo sale Venus de esa ubicación, y cómo se va iluminando, podemos ver si tiene fases "como la Luna", o si gira alrededor del Sol.

Gassendi, cuando encuentra a Mercurio, descubre que el tamaño es apenas 20" contra los 15' que predecía la teoría. Kepler, recientemente finado, no puede corregir los cálculos y aparece Horrocks.

Otra paradoja: las tablas de van Lansberge -copernicano- eran peores que las Rudolfinas de Kepler (de 1627). Horrocks consigue una copia en 1637, recalcula todo a partir de los datos de Gassendi para Mercurio, y el resto es historia.

Para el propio Chiaramonti, en 1644, mucho había cambiado. Ahora aceptaba la existencia de las fases de Venus (que explica mal, afirmando, como dijera Galielo inicialmente, que "eran como las de la Luna") y acepta la utilidad del telescopio para las observaciones astronómicas. Seguía creyendo en Ptolomeo, y sólo rechazaba de que las fases de Venus hubiesen sido observadas correctamente.

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(continuará... o no)

1425.- Los problemas de Venus (II)

Había varios problemas con Venus en el 1600.

Para Aristóteles, Venus estaba más allá del sol.

En la Edad media, se lo corrió y quedó antes del sol.

Pero el modelo de Ptolomeo describía mejor las cosas: a veces estaba más cerca y a veces más lejos que el sol.

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En 1610 tampoco se sabía si Venus generaba su propia luz o no. Que se viera de día era un gran argumento a favor del sí; y se pensaba que -salvo la luna- todos los cuerpos celestes emanaban su propia luz, sacada quién sabe de donde.

Y en diciembre de 1610, Benedetto Castelli le escribe a Galileo: Venus presenta fases.

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Galileo le escribe al toque a Kepler: Haec immatura a me jam frustra legunturoy, para asegurarse la prioridad, y les escribe después a Clavius y Castelli, pero no publica nada hasta 1613.

A partir de ahí, se arma el debate: el anagrama significaba "Cynthiae figuras aemulatur mater amorum". Evidentemente, "La Madre del amor (Venus) emula la forma de Cynthia (Luna)".

En criollo, "Venus presenta fases como la luna"

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Kepler traduciría Macula rufa in\ Jove est gyratur mathem, etc., es decir, "En Júpiter hay una mancha roja que gira matemáticamente", lo cual, asombrosamente, era cierto.

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(continuará, o no...)

1424.- Los problemas de Venus

La historia arranca con Kepler, antes de la cacareada condena a Galileo, cuando el chabón cazó al vuelo que si todo giraba alrededor del sol, deberíamos ver pasar los planetas como mosquitos contra un foco.

Y como no se quedaba en la boludez de decir que el sol estaba quieto y los planetas giraban sin más argumentos, sugirió cómo demostrarlo: ver pasar a Mercurio o a Venus delante del sol.

Con sus cálculos, Gassendi y otros astrónomos europeos esperaron verlo a Mercurio en noviembre de 1631 y -al mes- a Venus. No tuvieron suerte, porque no estaban visibles en Europa para esas fechas. Sutilezas de las inclinaciones del planeta, sumadas a unas tablas astronómicas bastante chotas.

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Horrocks, Jeremías para los amigos, creyente en Copérnico, supuso que las tablas estarían mal y se dedicó a corregirlas. Así llegó a 1639, y vio a Venus delante del sol.

Horrocks es uno de esos ignorados por la historia de la astronomía pero que fueron decisivos: el modelo geocéntrico estaba sepultado, y si ahora quedaban dos sistemas posibles del mundo, serían el de Copérnico o el de Tycho Brahe (en éste, la Luna y el Sol giraban en torno a la Tierra, y los planetas en torno al Sol).

Harrocks había aprovechado una oportunidad histórica, los tránsitos de Mercurio -más frecuentes- serían observados por distintos astrónomos en los siguientes años. Hizo otras dos cosas que valieron la pena: calcular la distancia a Venus, y la órbita elíptica de la Luna. Sugirió que las anomalías en el movimiento de la Luna se podrían explicar porque no sólo la Tierra la atraía, sino también el Sol.

Halley, unos años después, propondría una serie de expediciones para medir el próximo tránsito de Venus y obtener más precisión en el cálculo de las distancias. El problema es que a Venus se le daba por cruzar delante del Sol dos veces cada 120 años, separadas entre sí unos 8 años.

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Tal vez el mayor error científico de Galileo en 1632 con su Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo haya sido ignorar al modelo de Tycho, el otro modelo que importaba en la fecha. Los principales astrónomos europeos estaban ya en otra cosa, y hasta el propio Horrocks sospechaba que las mareas eran cosas de la luna -y no del movimiento terrestre.

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Continuará... (o no).

1423.- Papers del arXiv

Entre ayer y hoy vi cuatro papers del arXiv que me gustaría comentar (y un par sobre los que me pondría a laburar en serio). No se muy bien por dónde empezar, porque son temas muy variados, así que empecemos por éste.

Steven Krantz es un matemático que escribe bien (y mucho: no cualquiera tiene más de 40 libros y más de 120 papers, menos ambas cosas a la vez!), y el preprint que quería recomendar es "Through a Glass Darkly".

El tipo le da vueltas a la cuestión de cómo nos ven y cómo nos vemos los matemáticos, y por momentos me recordó "A Mathematician's Survival Guide". En general, sugiere darse una dosis de humildad contra ciertas posturas snobs sobre el lugar que ocupan (y peor, el que creemos que deberían ocupar) las matemáticas, incluso dentro de la universidad. Cuenta varias anécdotas interesantes relacionadas con esto, y plantea más de un problema. ¿El principal? La comunicación, sobre todo con los no-matemáticos.