29.10.08

1435.- Picard

El Teorema de Picard dice que una función compleja holomorfa (o analítica, o como les guste llamarla) en todo el plano, es constante o toma obligatoriamente todos los valores salvo -quizás- alguno.

En otras palabras, la imagen es un punto, todo el plano, o todo el plano menos un punto. Ejemplos de las tres clases: una constante, un polinomio, la exponencial.

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Momento! ¿Cómo sabemos que la imagen de un polinomio es todo el plano? Si un polinomio Q(z) no tomara un valor c, digamos, el polinomio P(z) = Q(z)-c no tendría raíces... y eso contradice el Teorema Fundamental del Algebra (TFA).

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Y el TFA es casi un corolario de Picard: supongamos que P(z) no tiene raíces. Entonces, f(z) = |P(z)| es estrictamente positiva, pero como f(z) es una función continua y positiva, que tiende a infinito cuando z tiende a infinito, obligatoriamente alcanza un mínimo r.

Resalto mínimo, porque ínfimo seguro que tiene al ser estrictamente positiva.

Pero si alcanza un valor mínimo r mayor a 0, la imagen de P(z) cae fuera de la bola centrada en 0 y de radio r. En otras palabras, hay infinitos valores que no toma, y eso no es correcto para un polinomio decente, pues según Picard, a lo sumo podría no tomar un único valor.

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Metateorema: todo teorema de análisis complejo sobre propiedades de las funciones holomorfas implica el TFA.

Demostración: Ejercicio.

Hint: la parte difícil es encontrar todos los teoremas, la parte fácil es usarlo para demostrar el TFA

22.10.08

1434.- Sobre la necesidad del algebra, u otro paquete que nos quieren vender

Igual que la madre enseña a sus hijos a expresarse en su idioma, así un músico gitano enseña a otro. Nunca han mostrado ninguna necesidad de notación.


Franz Liszt

14.10.08

1433.- Wolfskehl, otra cosa de la que no hable

Había quedado (unos posts debajo, en los comments) en hablar un poco de Paul Friedrich Wolfskehl.

Pero le doy vueltas y vueltas al tema, y no sé por dónde empezar: lamentablemente, el pobre tipo es una de las víctimas de cierto estilo en la divulgación científica moderna.

El estilo al que me refiero es simple: si quisiste demostrar Fermat, sos un crank (o crackpot, kook, u otro término peyorativo) a menos que seas Wiles. Y, técnicamente, también Wiles lo fue -especialmente en 1993, cuando anunció la demostración con errores- aunque se rehabilitó en 1997 con la corrección.

La línea entre ciencia y pseudociencia se traza al final, según los resultados obtenidos, sin mayor cuidado en fijarse quién quedó a cada lado ni por qué. De alguna manera, este criterio a posteriori es lo que relaciona a Wolfskehl con Guillaume Le Gentil: fracasó en su intento.

Pero el caso de Wolfskehl es más grave: en su testamento dejó un premio millonario para quien demostrara el último teorema de Fermat, que atrajo a miles de personas.

Eso, más que su fracaso, le resulta imperdonables a algunos.

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La importancia del premio -como dinero en efectivo- no era despreciable: Hilbert administraba los fondos, y sus dividendos le sirvieron para financiar congresos y reuniones en Europa, traer visitantes a Gottingen, comprar bibliografía...

Que fuera Hilbert su administrador -figura central de la matemática de fines del s.XIX- marca también la relevancia del premio (también había otros monstruitos en el comité de este premio, como Zermelo). Es comparable al del Clay Institute, y su grupo de matemáticos de primerísima línea como comité científico.

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Cuentan (Constance Reid, conocida historiadora y hermana de Julia Robinson) que a Hilbert le preguntaron por qué no demostraba el teorema, y respondió:

"Qué? Y matar la gallina de los huevos de oro?"

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La anécdota es más profunda a poco que se la mira: si Hilbert ganaba el premio, no mataba la gallina de los huevos de oro: en todo caso, pasaba a ser su dueño y podía incluso administrarla mejor.

Sospecho que la verdadera gallina que moriría era la publicidad sobre las matemáticas, y la atracción hacia ella que el premio ejercía sobre gente que -sin otra motivación inmediata, o urgida por otros problemas- no le hubiesen prestado atención. Más allá del mítico armario lleno de falsas demostraciones (hay fotos, busquen en la AMS) y la supuesta pérdida de tiempo para los matemáticos que debían revisarlas (unas 600 el primer año, después decayó y se estiman unas 5000), lo cierto es que el premio estaba beneficiando a la matemática alemana.

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Al final, no hablé mucho de Wolfskehl, pero ya volveré en otro momento.

13.10.08

1432.- Cosas de las que no hablamos

En el último mes hay temas que no tratamos por aquí:

  • El LHC, que veíamos hasta en la sopa. [En los medios el tratamiento del tema fue de terror, por suerte en los blogs se vieron cosas mejores, no recuerdo si ya linkié esto]


  • La crisis bancaria/hipotecaria/bursátil. [Este post tiene más de un año, cada tanto lo releo y me impresiona un poquito más; el original está acá.]


  • Los premios Nobel.


  • [Un detalle sobre esto último: de los 18 ganadores del de Economía desde 2000 en adelante, todos son yanquis salvo dos (C Granger, británico; Finn Kydland, noruego). Y aún así, los dos están en USA.]

    3.10.08

    1431.- Capo

    ...in the right hands, Schwarz inequality an integration by parts are still among the most powerful tools in analysis.

    Mark Kac, Quart. Appl. Math., 1972.

    (el mismo de Can One Hear the Shape of a Drum?)