1345.- Bonaventura Cavalieri

se cortó un salame en fetas, calculó cuánto se había comido, y mientras lo hacía dijo:

El rigor es problema de los filósofos, no de los matemáticos...

...y por eso, hoy se llama Teorema de Fubini.

1344.- Por que se utiliza la distribucion normal

Es bastante conocida la historia: en estadística se estudia mucho la distribución normal (la campanita de Gauss) porque es la más utilizada en la práctica.

Y en la práctica se la utiliza... porque está muy estudiada por la gente de estadística.

Por suerte, en el libro Probabilidad y Estadística Elementales para Estudiantes de Ciencias, de Maronna, le dedican una sección al tema, y explican la posta. La copio acá porque no es usual encontrar el tema tan bien explicado:

Muy tarde por la noche el Mulá Nasrudin se encuentra en la calle dando vueltas alrededor de una farola, mirando hacia abajo. Pasa por allí un vecino.

-¿Qué estás haciendo Nasrudín, has perdido alguna cosa?- le pregunta.
-Sí, estoy buscando mi llave.

El vecino se queda con él para ayudarle a buscar. Habiendo buscado durante un largo rato acaban por cansarse, y el vecino pregunta:

-Nasrudín, ¿dónde estabas cuando la perdiste?
-Dentro de mi casa.
-Entonces, ¿por qué la estamos buscando aquí?
-Pues porque aquí hay más luz.

1343.- Libros (4)

Sigamos. No nos olvidemos de los homo monitorensis (clásicos por su facie cadavericae, conocidos por su capacidad para estar horas sentados tecleando frente a un monitor en un idioma que sólo las máquinas entienden). A primera vista, esta línea evolutiva reciente parece estéril, y por lo tanto condenada a la extinción. Falso! por cortes de energía y/o del servicio de internet se los ha visto desarrollar una protovida social y hasta contraer matrimonio.

Recomendar libros para estos humanoides es dificilísimo: no queda claro si están en involución o si, por el contrario, se trata del próximo estadio de la humanidad. Entienden los conceptos lógicos como si el propio Aristóteles se los hubiese explicado, aunque no siempre siguieron estudios formales. Quienes pasaron por una carrera universitaria afín vieron elementos de análisis, álgebra lineal, teoría de números básica, probabilidades, métodos numéricos, algo de matemática discreta... y que progresen en sus conocimientos matemáticos es peligroso: hay quienes defienden que la mátemática de este siglo no será humana sino computacional, y podemos adivinar en manos de quienes caerá.

Por lo pronto, como ya vieron (en mayor o menor profundidad) la mayoría de los temas del Courant-John (incluído en algunos casos Fourier y hasta la FFT que en ese libro no figura), no me queda otra que salir del análisis y recomendarles el excelente Concrete Mathematics, de R. L. Graham, D. E. Knuth y O. Patashnik.

Este libro se supone que contiene los 'pre-requisitos matemáticos' para leer The Art of Computer Programming, y en el prefacio cuentan cómo nació en un curso de DEK. La idea es introducir los conceptos de combinatoria y matemática discreta pero sin los formalismos habituales. Se puede leer sin saber análisis, álgebra, o teoría de números, y muchas veces la presentación es algorítmica; otro buen punto es la cantidad de citas, chistes, problemas,... que incluye, en especial los que aparecen todo el tiempo en el margen de las páginas^*. La única contra es que la notación no siempre es la standard, pero eso no será un problema para quien ve por primera vez ciertos temas ahí.

Si lo anterior no los convence de leerlo, cualquiera sea la cosa a la que se dediquen, prueben a leer el prefacio. Sigan o no, se habrán divertido bastante.

* Fermat me escribe indignado diciendo que eso no es bueno: se le ocurrió un demostración más corta de su último Teorema, pero no pudo escribirla en el margen porque había una frase de él mismo escrita ahí!

1342.- Grossitud matematica

Definición: un matemático (vivo) se dice grosso si

Tiene un centenar de papers,

una decena de libros,

es editor de una docena de journals.

bah... cualquier mediocre es capaz de hacer eso...

Linkea sus propios libros a bases truchas como gigapedia o mexmat (!)

yo ni siquiera linkeo los libros que recomiendo, snif... igual voy a seguir recomendando

1341.- Comentarios de primera

Hablaba en el post 1338 del énfasis que ponen ciertos comentaristas cuando opinan sobre algo que ignoran o no entienden (no en este blog, por suerte, o al menos con muy poca frecuencia!).

OJO: no se tome esto como una burla pedante del que sabe apenas una pizca más que otro y la considera suficiente para descalificarlo. Todo lo contrario. Podría dar varios ejemplos, a partir de excelentes blogs sacados de los que linkeo, e imbéciles que los contradicen sin tener idea de qué se está hablando (me vienen a la mente, sin proponérmelo, un post de Gaussianos y otro de Juegos de ingenio, y una discusión entre Pedro Terán y una becaria de un lado contra... pero no, no los voy a linkear). Igual, incluyo al que considero el comentario modelo o prototípico de esta clase.

Para ubicarnos, en el post original, el autor propone acercarse a los teoremas y las definiciones abstractas dando primero ejemplos. Y alguien escribe:

Though I’ll concede that example first *might* be more appropriate for first year class(es), in upper level classes, IMO, this is encroaching on an insult to the students intelligence.

I’ve said it to many people before, and given this applies here, I’ll say it again:

This is University, playtime’s over, it’s time for some real work.

i.e. If the student cannot be trusted to understand in a manner which is fundamental to mathematics, they don’t belong in the class and should not be catered to. I know that sounds harsh, but this is the first step on a slippery slope of dumbing down the curriculum which I see going on in a disturbing number of Universities.

Algunas reflexiones:

Me mata el IMO, que (¿accidentalmente o lo traiciona el subconsciente?) coincide con la sigla de International Math. Olympiad; pero sospecho que no es un error la falta de la H (porque de humble no tiene nada).

Este es un punto delicado: If the student cannot be trusted to understand in a manner which is fundamental to mathematics, they don’t belong in the class and should not be catered to. Por lo general, casi toda la gente que conozco trabaja al revés: el resultado abstracto o el teorema general sale después de haber entendido casos particulares, o de ver un teorema en un contexto similar y luego ir adaptándolo para el caso que uno necesita.

Jamás se me ocurriría decirle This is University, playtime’s over, it’s time for some real work al autor de ese post, por razones de respeto muy elementales.

El autor, que hasta ahora no lo mencioné, es Tim Gowers, medalla Fields 1998. Creo que sabe de qué se tratan las matemáticas, la Universidad, y el real work...

1340.- Libros (3)

Ahora sí: ponele que un gorila llega a ser ingeniero, con título de verdad, reconocido por alguna universidad de cualquier parte del mundo. Seguramente habrá visto análisis en una y varias variables, álgebra lineal, un poco de probabilidades, algo de ecuaciones diferenciales y de análisis complejo. Con el tiempo, si no repasa algunos detalles, esto se le oxida en la cabeza.

Bien. Hasta que las técnicas de William Gibson se hagan realidad, no queda otra que refrescar los conocimientos metiéndolos en el cráneo a través de los ojos (preferentemente con la lectura de algún libro; las técnicas invasivas siguen sin dar resultados). Y la pregunta es, entonces, ¿qué libro elegir?

Acá no es fácil responder, sobre todo porque no hay ninguno que tenga todo eso. Se imprimen cada día libros de miles de páginas con cientos de ejercicios, gráficos a color, recuadros, dimensiones pornográficas de 10.7x8.2 pulgadas... y pocas demostraciones o teoremas bien enunciados; por lo general llevan títulos como "Cálculo y Geometría Analítica", y se los reconoce por ser libros mamotretos de prestigiosas editoriales escritos por autores desconocidos. Mi recomendación al respecto es: "ninguno similar a los anteriores".

¿Entonces? Si nos olvidamos de probabilidades, la mejor opción para reunir todo eso es el libro Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1 y 2, (originalmente, de Richard Courant con el título Differential and Integral Calculus; y por Courant-John en las versiones posteriores a su muerte^*). El libro tiene muchos temas más: series de fourier, aproximaciones numéricas, mucha geometría analítica, y algo de geometría diferencial. Mi edición tiene poco más de 1500 páginas, pero del tamaño usual, y no necesito despejar el escritorio si quiero abrirlo (ni entrenarme con pesas para levantarlo). Se puede leer en un tren o colectivo sin apoyarlo en las piernas del vecino.

Un factor importante es que separa las demostraciones muy rigurosas de las explicaciones intuitivas y los ejemplos, enchufándolas en un apéndice al final de cada capítulo que suele ser muy técnico. Otro, es el orden en que se ven los temas, poco usual. Para refrescar (y ampliar) conocimientos, es excelente. También se puede utilizar para empezar de cero, suponiendo que uno tiene una buena base del secundario.

* La muerte de Courant, claro. Fritz John murió en 1994, y hasta donde sé, nadie curró actualizándolo.

1339.- Mas libros

Hagamos una pausa en las recomendaciones, no da empezar el post diciendo:

Ponele que un gorila llega a ser ingeniero, con título de verdad, reconocido por alguna universidad de cualquier parte del mundo...

Es imposible -al menos en esta parte del mundo- no asociarlo a la realidad política argentina de los últimos 60 años (desde la ingeniera devenida ecologista fracasada, hasta el casi ingeniero experto en seguridad, sin olvidarnos del intendente que mira las cosas como si economía=no gastar). Y no sé si un extranjero -Otis, por caso- debe perder un par de años en tratar de entender este fenómeno único.

Pero el que quiera intentarlo tiene un par de textos a su disposición: No habrá más penas ni olvido, de Osvaldo Soriano; y especialmente, Cuentos de los años felices del mismo autor.

* * *

Ayer bajé Cuentos de los años felices, y releí esas historias que me habían enganchado desde la contratapa de Página 12. Historias escritas de un Soriano de cuando era chico y su padre tenía la edad que él tiene al momento de escribirlas, y la relación con este padre (¿hasta qué punto ficticio?) vista desde los sueños de crecimiento económico del país, las opiniones políticas, las idas y venidas de un país que no se decide a hacer las cosas en serio donde un gobierno que sube -sea quien sea- voltea lo que el otro hizo e inicia un nuevo proyecto grandioso que no podrá terminar (ya que será destruído por el gobierno siguiente).

Me impresiona haber leído algunas de esas historias hace casi 20 años. Mi pueblo tenía una biblioteca popular, una institución que hoy sería imposible fundar: uno de los pocos edificios de dos plantas, (o tres, mejor dicho) 50 mil volúmenes distribuidos desde el piso hasta el techo, carpintería de calidad. Durante años, ahí se compraban o recibían los diarios, pero la crisis de los '80 restringió su compra. Cornetín (o La Oligarcación, pero sólo uno al día) se recibían con la primer página mutilada: el encabezado se devolvía como muestra de que el ejemplar no había sido vendido. Página 12, en cambio, llegaba como donación. Cosas del pueblo: el distribuidor oficial de diarios y revistas no lo traía, tal vez porque era demasiado zurdo para su gusto. Tampoco me trajo nunca la Humor y Juegos, pese a que se la pedí personalmente un par de veces. ¿Para qué molestarse en contactar una editorial, si iba a vender un único ejemplar? P/12 lo distribuía otra persona, que más adelante instaló una de las primeras FM (truchas, para la época), y venía con el sello de "ejemplar sin cargo", donado probablemente por el propio diario. Y todo se terminó con la venta del diario a sus dueños actuales.

* * *

Cuentos de los años felices tiene tres partes: fútbol, historia argentina, y estos cuentos ubicados entre 1940 - 1960. Esos son los que quisiera recomendar para un ingeniero, sea gorila o no. Peronismo, antiperonismo, desarrollismo, el Che, la nacionalización del petróleo... todos estos temas desfilan por los cuentos Aquel peronismo de juguete, Gorilas, Vidrios Rotos...

Cero matemáticas, física, ciencia. Cero literatura, agregará alguno. Pero mucho espíritu "ingenieril" vivo en los personajes, capaces de destruír una radio o uno de los primeros televisores para entender cómo funcionaban.

1338.- Libros (2)

Supongamos que un primate llegó a hacer los dos primeros años de una carrera de informática, ingeniería, o economía [en mucha menor medida, vale también para físicos, químicos y matemáticos; la gran diferecia es que estos saben que hay más cursos de matemáticas]. En tal caso, habrá visto los rudimentos del álgebra lineal y del análisis matemático: sabe resolver sistemas, trabajar con matrices, derivar, integrar, buscar máximos y mínimos, y tiene nociones básicas de ecuaciones diferenciales...

Nuestro primate casi habrá alcanzado la categoría de hombre culto según los parámetros de la Ilustración, y como sabemos, eso se caracteriza por una confianza desmedida en los métodos matemáticos y una fe injustificada en la razón. Es más difícil discutir con esta gente sobre los transfinitos que con un abogado; suelen creer que las matemáticas terminan ahí, y hablarán pestes de los delirantes matemáticos que creen en cosas como la paradoja de Banach Tarski.^*

Conste, no sea cosa que se malentienda, que el problema no son quienes llegaron a hacer los dos primeros años de una carrera de informática, ingeniería, o economía, sino los que creen que ahí se termina el mundo. No está mal señalar que quien siga adelante, ya sea cursando o simplemente informándose, encontrará más matemáticas disfrazadas con el ropaje de su carrera: el economista no calculará áreas, sino excedentes de productores/consumidores, y verá más estadísticas; el ingeniero puede tener un bias hacia las ecuaciones de la física, y mejores ideas de probabilidad; el computador tendrá conocimientos extra de lógica y de matemática discreta. Al seguir adelante, esta gente descubrirá conceptos matemáticos propios del siglo XX.

Con muy poco esfuerzo, ya que esos dos años le dieron las herramientas, el primate este puede conseguir un mejor panorama de las matemáticas. El libro indicado -donde no va a encontrar muchas demostraciones, pero sí muchísimas ideas- es el de Courant y Robbins, What is mathematics?.

[Si alguien que no pertenece a este estrato ya ha leído el anterior de Kasner y Newman, también puede intentar leerlo. El esfuerzo vale la pena, y le evitará caer en esta categoría de infraseres empatanados en uno de los círculos infernales de la matemática.]

* Uno puede verlos en foros y blogs e identificarlos fácilmente por el énfasis que ponen al opinar sobre aquellos temas que ignoran. En un próximo post voy a poner el que considero que es el summun de esta clase de comentarios.

1337.- Episodio 3.14159...

Aparece el tercero de Paenza y, una vez más, está disponible en la red. Se puede downloadear de acá.

Todavía ni lo miré, me acabo de enterar gracias a Tibu.

1336.- Libros (1)

Pide Otis que le recomiende libros de matemática, y si bien es una lista que muchas veces quise hacer, no se si responderá a las necesidades del caso. Por lo pronto, intentemos cubrir apenas dos áreas.

A ver... imaginémosnos un hipotético lector de Gardner, que encuentra de golpe que los argumentos para resolver ciertos problemas pasan por encima de lo que sabe, o peor aún, de lo que algún día supo. La situación varía mucho si este hipotético lector es abogado, informático, ingeniero (en alguna cosa), físico, matemático, algebrista, o analista.

Antes de seguir, aclaremos, no hay que ver en ese orden una escala evolutiva: es bien sabido que quienes alcanzan una estapa cualquiera de éstas creen haber llegado al pináculo de la vida inteligente, trascendiendo incluso la raza humana, y no pretenderían jamás cambiar a otra, lo cual sería a sus ojos una involución.

El abogado la tiene especialmente difícil: como no vio las definiciones mínimas, se tendrá que inventar sobre la marcha todo lo que necesite. Cuando termine, se corre el riesgo de que defienda a muerte su solución (sea o no correcta) con las herramientas adquiridas de la sofística en lugar de aquellas de la lógica^*.

Hay temas en los cuales a un abogado (y a otros seres varios, que incluyen seres humanos) le puede fallar la intuición: conjuntos infinitos, la noción de derivada, el área bajo una curva, ya que las conclusiones 'lógicas' al trabajar con límites o series suelen ser ilógicas. No se pretende que sepa hacer las cuentas, para eso podría cursas Análisis 1 en cualquier universidad razonable donde eso sea un curso de análisis en una variable.

Para alguien así, no le vendría nada mal leer un libro como el de Kasner y Newman, Matemáticas e imaginación. Tampoco le vendría mal leer los que sigan en esta lista, pero debemos marcar un mínimo de donde partir para quienes no tuvieron estudios en matemáticas.

* El abogado modelo sin dudas fue Fermat. Recordemos, de paso, que no consideraba necesario escribir las demostraciones formalmente, ni siquiera comunicarlas a otros.

1335. Notices AMS 11/07

El número de noviembre trae un artículo interesante, Bella Abramovna Subbotovskaya and the "Jewish People's University", de George G. Szpiro. Es la parte más triste de la historia que contaba en el post 1296, genocidio intelectual.

(Aprovecho, que lo fui dejando de un día para otro, a linkear a Becario-E, que había consultado a su jefe al respecto.)