1213.- Predicciones

Vía Hernán, caigo en esta página de chistes científicos y encuentro el siguiente:

Cada vez que se ha hecho algun descubrimiento sobre Pluton ha servido para cambiar las estimaciones de su tamaño - y siempre ha disminuido. De hecho, si en los 60 se hubiese hecho una gráfica del tamaño de Pluton contra el tiempo, mostraría claramente que de seguir esa tendencia el planeta iba a desaparecer en los 80.

Bueno, no. En los ochenta se siguió reduciendo (este paper es de los ochenta). En realidad, Plutón desapareció en agosto de este año.

1212.- Ok, ok, es la ultima

La imagen es del Conway-Guy, y confieso que al principio me despistó:



Claro, el 12 y el 17 no tienen nada que ver, la idea es que si raíz de 2 es una fracción a/b, dilatando en b el cuadrado, uno obtendría un cuadrado de lados b, y a es la hipotenusa. Acá no vamos a usar que 2b²=a², simplemente que con el plegado conseguimos un nuevo cuadradito de lados b-a, es decir, hallamos una fracción con denominador más chico que b. Como el argumento se puede seguir repitiendo, encontramos infinitas fracciones de denominadores cada vez más chicos (y positivos), lo cual no es cierto porque entre 0 y b hay finitos números.

1211.- Analysis by its history

Acabo de terminar el libro de Hairer y Wanner (este). Excelente. Lo leí de un tirón, y en cada hoja encontraba algo nuevo. Me voy a tomar una semanita y lo leo de nuevo. Y con el tiempo, iré posteando algunas de las cosas que encontré.

Por lo pronto, una que nunca había visto en un libro de matemáticas: estereogramas para ilustrar la parte de cálculo en varias variables, dando una impresión de profundidad o 3D.

1210.- Paenza again

El nuevo libro de Adrián Paenza, Matemática estás ahí, episodio 2 está en la calle y también está en la red.

Otra vez, del Depto de Matemáticas de la UBA se puede bajar la versión en pdf, y como la otra vez, les dejo el link para bajarlo: click.

Ahora hay 'menos matemática' y más juegos y problemas de ingenio (je, como si fuesen cosas muy distintas). Mucho material ya circuló por mail, weblogs y demás vía las notas de Página 12. Sospecho que no va a jugarle en contra a las ventas, todo lo contrario. Qué quieren que les diga, más de uno debería seguir el ejemplo de Paenza. Poner el libro gratis en la web no evitó que se convirtiera en un best seller, me animo a decir que todo lo contrario, lo potenció.

1209.- Quadratwurzelschnecke

Preguntaba en el post 1199 por la historia de Teodoro mencionada en el Teeteto por Platón, que habría demostrado la irracionalidad de ciertos números hasta el 15, y que no lo hizo para el 17. Hasta el momento, hay varias respuestas:

1.- Platón estaba empédocles cuando escribió lo que escribió, si es que lo escribió, la historia es poco creíble, siempre y cuando haya sido bien traducida, y que no sea una modificación posterior de algún traductor o comentador [hay que reconocer que algunas variantes parece haber: estudió todos los números menores a 17? sólo los impares?]. En la línea de los que dudan están Zeuthen y Heath, conocidos historiadores.

2.- Vía congruencias. Martín comenta en el post anterior que llegó hasta el 13 escribiendo n=13q+r. (aunque el tema sea irracionalidad, y no primalidad, este tipo de argumentos me recuerdan el polinomio de Euler, n²+n+41)

3.- En Gaussianos (link al blog a la derecha, junto con los buenos blogs matemáticos), fede esboza la solución de McCabe (Math Magazine 49-4 de 1976, también en la 5ta edición del Hardy - Wright de teoría de números, pag. 42ss.) La idea es mirar los restos al dividir por 2.

4.- La espiral de Teodoro: no hay que despreciar la posibilidad de que Teodoro parara en el 17 porque no lo necesitaba... resulta que una de sus cosas que sí nos llegó es la siguiente espiral:



Cada triángulo tiene un ángulo recto, los catetos miden 1 y raíz de n, y la hipotenusa mide raíz de n+1. ¿Qué tiene de interesante aquí el 17? Para 16, se llega a 351 grados y pico, mientras que con 17 se pasa a la vuelta siguiente. ¿Habrá calculado hasta ahí porque era lo que le interesaba para su espiral, y no porque no fuese capaz de demostrarlo para 17?

Vaya uno a saber...

1208.- Problem(it)a

Dos matemáticos están mirando un polinomio en un pizarrón,

f(x) = a_nxⁿ +...+ a₁x + a₀
donde no conocen los coeficientes a_k, que son números enteros, ni el grado n.

-A ver, supongamos que la edad de mi hijo es una raíz.

-¿Era 7...?

-No, es más grande. Digamos que f(7)=77.

-A ver, probemos con un número más grande, la edad de mi hija..., ¿qué tal si ahí da 85? ¿Tu mi hijo es más grande que mi hija, no?

-Si, y ahora con esos datos cualquiera puede saber qué edades tienen.

-Listo, preguntemos eso en el parcial, en vez del grado, los coeficientes, y esas boludeces de siempre.

Este problema tiene como 50 años, y no doy la fuente porque no la conozco. En internet aparece en una lista de historia de la matemática en el '97, y en 2000 alguien lo usa en un artículo de educación matemática sin citar nada.

1207.- Ahora de numeros otra vez

Si, ya nos convencimos de que raíz de dos es irracional, pero ahí va otra: si es a/b,

a²=2b²
y del lado izquierdo hay un número par de divisores, mientras que en el derecho son impares.

Upgrade 1207.1: me señala Hernán -con mucha razón- que en vez de divisores debería decir factores primos.

1206.- Otra clase de irracionalidad

(Nada que ver con todo lo anterior) Esto es por el artículo de Eleanor Robson, Iraq: the history of mathematics and the aftermath of war, British Society for the History of Mathematics Newsletter 49 (2003), 1-9.

The Awqaf, established in 1920, held some 7,000 manuscripts, mostly religious, but also including important early scientific works. Staff managed to move most of the collection to safety before the war, sending about a quarter of it, mostly comprising recently acquired material, under armed guard to a mosque. But when one of those guards was shot and killed by US troops on 14 April and the others disarmed, it was decided that the collection would be safer in the Awqaf building after all. That afternoon the library was set upon by organised looters, who stole 22 of the 32 trunks containing the returned manuscripts and then set fire to the building with flammable agents. The whole structure burned to the ground within quarter of an hour; an estimated 700 manuscripts were destroyed in the blaze and a further thousand or so looted.

Otra historia similar: un tanque voló el frente de la Academia de Ciencias de Irak, para sacar la bandera... tras eso, el 80 por ciento de los 58000 libros y los 2000 manuscritos que había fueron robados.

1205.- Logicas ilogicas

Venía dando vueltas sobre el tema de la irracionalidad porque muchas veces algo se califica de irracional pero sin especificar en relación a qué.

En aritmética, irracional no apunta a un número que escapa de la razón (un número inexplicable, o absurdo, o imposible, o que no entra en la cabeza...), sino a uno que no puede representarse como un cociente -o razón- de cantidades enteras.

De la misma manera, que un pensamiento, deducción, creencia, etc. sea irracional está asociado en nuestra cultura a la lógica aristotélica. Tenemos tan arraigado esto que hasta hace unos cien años nadie se cuestionó que podía haber diferentes lógicas, y si esto ocurrió, fue más por culpa de Cantor y su introducción de los distintos infinitos que por otra cosa.

Se quejaba en un comment Osvaldo que por cambiar algún postulado de la lógica clásica no es cuestión de llamar irracional a estas nuevas lógicas, lógicas ilógicas en el sentido tradicional, pero matemáticamente interesantes.

Uno de los intentos más interesantes acepta cierto grado de inconsistencia, para lo cual se deja de lado el principio del 3ro excluído y el ex contradictione quodlibet (de una contradicción se deduce cualquier cosa).

Para mas info al respecto, Inconsistent mathematics, en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford. Su autor, Chris Mortensen, escribió un libro sobre el tema que comenta Baez aquí. También, un par de link con laburos actuales en el tema: WoPalo, y artículos; y la entrada de la Wikipedia sobre lógicas paraconsistentes.

1204.- El paper Nature de la semana

Se merece el lugar destacado el paper sobre "The DNA sequence and biological annotation of human chromosome 1".

Pero ojo, no el paper "The DNA sequence and biological annotation of human chromosome 1", que se publicó en mayo, sino el que se publicó el jueves 26 de octubre:

"Corregidendum: The DNA sequence and biological annotation of human chromosome 1", Nature 443.

¿En qué le pifiaron? Se olvidaron de incluír 13 coautores... Esperemos que los 3.141 genes, 991 pseudogenes, y las many coding sequences estén todas bien anotaditas y no se hayan olvidado de incluír nada.

(vía improbable research)

1203.- Deducciones irracionales

Escribiendo el post anterior, caigo en la cuenta que Baez (éste) le está contestando (conscientemente o no) a los Sokal-istas cuando defienden:

los que crean que la ciencia es una mera convención social, prueben transgredirla tirándose por mi ventana

(Sokal aclara en su paper que vive en un piso 22).

Estaremos de acuerdo que la ciencia no es una mera convención social, pero aún creyendo eso, nadie saca a partir de allí deducciones tan absurdas como para que se contradigan abiertamente con la realidad. Hay un límite en la realidad para la aplicabilidad de la tablita de verdad.

Y un tema aparte es la cantidad de factores a considerar en un problema de corte menos exacto, como para poder distinguir claramente cuál es la hipótesis errónea que lleva a un absurdo. Estoy seguro que diferentes hipótesis, todas razonables consideradas por separado, pueden llevar a conclusiones absurdas interactuando todas juntas... me parece que el campo de la economía es el lugar correcto para buscar ejemplos.

Upgrade 1203.1: siguiendo el consejo de dotuev, aclaremos que la cosa no es con Sokal, sino con sus seguidores, que muchas veces son más papistas que el Papa.

1202.- Mas irracionalidades (pero no de numeros)

Una de esas leyes lógicas que todos sabemos es la de que un resultado falso implica cualquier cosa. En realidad, es una línea en la tabla de verdad de las implicaciones, si p es falso y p implica q, p implica q es verdadero aunque q sea cualquier banana.

Circula una anécdota -que Smullyan atribuye a Russell, otros a Hardy- según la cual alguien -a veces un filósofo, otras gente común, nunca uno de ciencias- se muestra escéptico al respecto -che! que el escepticismo tiene un límite... con ciertas cosas no se jode- y le pide que demuestre que si 1=2, Russell y el Papa son la misma persona. Como él y el Papa son dos personas, pero ya que él es uno, y uno es igual a dos, él es el Papa, argumenta Russell, y el otro se cae'e culo y ve la Luz¹. Igual, esta parte no suele estar muy detallada en la anécdota, pero parece que lo convence porque si el otro hubiese dado una réplica interesante, figuraría.

Una réplica interesante la dió Baez varias décadas después: si en una cadena de razonamientos uno llega a un resultado falso o que contradice lo que creemos, lo normal es que uno no salte por la ventana porque eso implica que uno puede volar.

Y los matemáticos lo sabemos bien: cuando llegamos a una contradicción, uno se frena, y en lugar de declarar que vale todo, retrocede buscando dónde estuvo la falla (algún error humano en la deducción) o qué suposición que uno hizo es demasiado atrevida para descartarla (apelando al ppio. del 3ro excluído)².

Pero todo eso parte de una suposición previa, y es que la premisa es verdadera ó falsa. La cosa se complica cuando uno rechaza esto y entra en las lógicas multivaluadas, donde una proposición A puede ser:

-verdadera, falsa, o indecidible.

-verdadera (1), falsa (0), ó p, con p entre 0 y 1 (fuzzy, probabilidades).

-1, 0, ó n valores extras (Lucasiewicz y Tarski)

Pero todo se pone realmente irracional si uno acepta:

-verdadera, falsa, ó ambas.


(Continuará... O no, o ambas cosas)


(1) es lógico que si queda de espaldas en el suelo vea la Luz, porque esta suele venir de arriba, ya sea el sol, un foco, etc.

(2) ya habíamos hablado del ppio. del 3ro excluído con la excusa de las demostraciones por el absurdo acá, acá y acá

1201.- Irracionales (II)

Y antes de meterme con cosas realmente irracionales, otra demostración sencilla y fácil de recordar, que utiliza sólo la definición de logaritmo: log₂(3) es irracional. Veamos:

Si log₂(3)=a/b con a, b enteros,
2^(a/b)=3, o sea
2^a=3^b,
lo cual no puede ser porque un lado es múltiplo exclusivamente de 2 y el otro de 3.

No es difícil demostrar en la misma línea que si m no es una potencia de n, entonces log_n(m) no puede ser racional.

Y sobre la irracionalidad en general, pero en otro tema, les recomiendo este excelente post de Alejandro. Pensaba dejarle un comment, pero mejor lo incluyo acá: can I ask if mathematics is 'rational'? (that is, self-consistent or non-contradictory)

1200.- Convencimiento: posts osados o plomos

Post mío: vasos densos (mosto convencional, dos pesos) + conocimiento: post plomo.

Polvo tonto, ósmosis, lo vomito, descompensacion... Descompensación: post sonso.

1199.- Irracionales

Hay cosas irracionales sobre los números irracionales.

Se comenta por ahí que un griego de hace dos milenios y medio demostró que las raíces cuadradas de 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14 y 15 no eran racionales, pero que no pudo demostrarlo para el 17.

No se me ocurre qué clase de argumento habrá usado. ¿Congruencias, tal vez?

Para no ser incongruente, aclaro qué quiero decir con eso: por ejemplo, si elevamos un número al cuadrado hay sólo dos opciones, es divisible por 3 ó es de la forma 3k+1, es decir, al dividirlo tiene resto 1. Ahora, si raíz de 2 fuera a/b, donde a y b no tienen factores comunes,
a²=2b²
con lo cual el lado izquierdo y el derecho no pueden tener el mismo resto si los dividimos por 3.

Esta demostración es de Enzo Gentile, más conocido por sus Notas de álgebra o su tango El Algebrista.

1198.- Reminder

Posteo ésto para acordarme de leerlo más adelante.

1197.- De las cosas que uno se entera gracias al mono

Y bue... la verdad, me gustaría leerlo.

1196.- GOTO

la computadora es como la vida misma. los programas nacen, crecen, escriben y leen algunas cosas, con suerte se reproducen y mueren. y asi n veces, un programa cree ser único en su clase, pero no sabe que en la dirección de memoria 0xA2000 quizás haya un clon de él, creyendo que es el único tambien.

el kernel del sistema operativo vendría a ser como el programa que ejecuta a nuestro universo. estuvo ahi miles de milisegundos antes que nosotros, y presenciará el reset final de todo. lo malo es que nunca podrá hacer un dump de memoria.
y el kernel, como el universo, rearrancará miles de veces creyendo no sólo ser único sino estar viviendo un tiempo irrepetible.
cuando en realidad, todo lo que hace es seguir instrucciones tan claramente pautadas que de obvias son invisibles.

este no cambia. Lo único lamentable es que se hayan perdido sus muchos posts como argentino standard. Como escribió alguna vez: si fuera el arquero de la selección natural, todavía seríamos unicelulares.

1195.- Ptolomeo

Pocos científicos han sido más despreciados que Ptolomeo (tal vez, Aristóteles) y su obra no llega a hacerse conocida por la 'superioridad' del modelo copernicano. Recordemos brevemente que el ptolemaico fue el primer modelo matemático que permitió calcular la posición de los planetas y el sol, un modelo lo suficientemente preciso como para calcularlas durante unos quince siglos.

Claro: el modelo copernicano es mejor, me dirán, el sol está en el centro, y los planetas se mueven en círculos a su alrededor... Momento! que los planetas no se mueven en círculos en torno al sol, se mueven en elipses, y eso lo propuso Kepler. Y tampoco: las perturbaciones en las órbitas elípticas se observaron hace mucho tiempo. La teoría de Newton indicaba cómo hacer los cálculos astronómicos, pero si hasta el siglo XIX se pensó que era suficiente considerar el tironeo gravitatorio entre los planetas para explicarlas, con Poincaré se llegó a la conclusión de que ese camino no funcionaba. Con la relatividad en el siglo XX se introdujeron más factores a considerar: velocidades, masas, etc., pero el cálculo no mejoró hasta la aparición de la computadora. Y ahí no hubo ninguna revolución conceptual (o tal vez sí, pero fue un retroceso: creer que los números que la máquina escupen son verdaderos).

¿Y qué se hizo con la máquina? Simplemente, integrar numéricamente las ecuaciones que no se podían integrar en forma 'cerrada' como combinación finita de las funciones conocidas, una versión muy sofisticada de los métodos de Euler del siglo XVII pero nada más. Pregúntenle al Ariadnne 5 qué pasa con los pequeños errores numéricos aún cuando se quiere ser preciso.

Ahora, siglo XXI, sabemos que la computadora tampoco es la solución al problema: Marsden (el mismo del Marsden Tromba que se usa en Análisis II) demostró hace unos pocos años que no existen métodos numéricos simplécticos: las trayectorias numéricas pueden calcular bastante bien la posición, pero no las cantidades conservadas (como momentos, o la energía), lo cual a la larga influye negativamente en el cálculo de la posición. El resultado es tan negativo que el viejo péndulo determinístico de Huyghens se vuelve caótico, y si tenemos en cuenta que una masa rotando circularmente -sea el sol en torno a la tierra o al revés- es el péndulo más simple de describir, vemos cómo afecta al problema.

¿Y dónde quedará el cálculo de las órbitas en el futuro? ¿Se reirá alguien -mañana- de esta gente como algunos se ríen hoy de Ptolomeo? Sospecho que sí, lamentablemente.

1194.- Hilbert y Poincare

Cien años atrás, los matemáticos más importantes del mundo eran Hilbert y Poincaré. Su influencia nos llega hasta el día de hoy (la lista de 23 problemas de Hilbert guió la investigación de muchísimos matemáticos de primera línea; grandes partes -cuando no la teoría entera- de topología y geometría algebraica, sistemas dinámicos, teoría ergódica, funciones complejas, y geometría diferencial comenzaron con Poincaré).

Sin embargo, son mucho menos conocidos que Einstein, y cosas como éstas nos dicen que no debería ser así.

(Con Poincaré no hubo dudas: publicó sus cosas antes, incluso las mencionó en libros de divulgación, le corrigió un error a Lorentz, y el propio Einstein reconoció que Poincaré lo había hecho antes)