30.10.06

1199.- Irracionales

Hay cosas irracionales sobre los números irracionales.

Se comenta por ahí que un griego de hace dos milenios y medio demostró que las raíces cuadradas de 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14 y 15 no eran racionales, pero que no pudo demostrarlo para el 17.

No se me ocurre qué clase de argumento habrá usado. ¿Congruencias, tal vez?

Para no ser incongruente, aclaro qué quiero decir con eso: por ejemplo, si elevamos un número al cuadrado hay sólo dos opciones, es divisible por 3 ó es de la forma 3k+1, es decir, al dividirlo tiene resto 1. Ahora, si raíz de 2 fuera a/b, donde a y b no tienen factores comunes,
a2=2b2

con lo cual el lado izquierdo y el derecho no pueden tener el mismo resto si los dividimos por 3.

Esta demostración es de Enzo Gentile, más conocido por sus Notas de álgebra o su tango El Algebrista.

3 comentarios:

dotuev dijo...

linda demostración

Otis B. Driftwood dijo...

Qué hermosas congruencias, JuanPablo (¡yo no recordaba lo de 3k+1!). El tango lo voy a fusilar para un minipost :-)

JuanPablo dijo...

hay una sutileza en la demostración que la hace más linda -para mí- y es que usan divisibilidad de números enteros, pero no factorización única, es más elemental que la clásica