25.1.06

1077.- Demostracion por el absurdo (2)

Tema complicado para tratar a la ligera, y menos desde el punto de vista estrictamente lógico... Me pongo a pensar, y los resultados que conozco de Kronecker, Henri Poincare, Weyl, Borel, Lebesgue o Brouwer son todos 'tradicionales', mientras que también están a mano sus objeciones a esta matemática 'tradicional'.

Esta historia se puede decir que arranca con los distintos infinitos de Cantor (~1880). Hasta entonces, infinito había uno solo, pero el chabón inventó toda una familia. El de los números naturales era el más chico de todos, el que uno se imaginaba que existe, mientras que el de los números reales era "más grande". Intuitivamente, los números naturales se los puede ir recorriendo uno por uno: 1, 2, 3... y así. Los reales no, no hay forma de ubicarlos 'en fila' en una sucesión, siempre van a quedar números afuera de cualquier lista que hagamos.

Ahí empezó el problema: el infinito en potencia de los números naturales era aceptable, paso a paso -como dijo Mostaza Merlo- se llega a cualquier lado. El de los reales obligaba a considerar todos los reales ahí, todos juntos a la vez, y sin posibilidad de recorrerlos uno a uno.

Verificar una proposición para los números naturales hasta ese momento era sencillo: hacer inducción (un método que consiste en demostrar que algo vale para n+1, suponiendo la validez para n, sumado un 'origen' para el cual vale), lo cual se basa en el paso a paso de Mostaza, y él ya demostró que da resultados aún en equipos de fútbol claramente inferiores. Pero para los reales, ya no valía.

Hay algo peor: no había un mecanismo para generar todos los números, uno no los conoce a todos. La crisis es comparable a la aparición de los irracionales en la matemática pitagórica. Se sabía que había números racionales e irracionales, y que había números algebraicos y trascendentes. Los algebraicos eran los que eran raíces de polinomios con coeficientes racionales; los trascendentes no: no se los podía racionalizar elevándolas a potencias o multiplicándolos por racionales o sumando racionales o potencias de si mismos. Cantor venía a decir que encima estos trascendentes eran muchos más que todos los números conocidos. Los algebraicos también eran numerables, así que esa enormidad de números que formaban los reales eran desconocidos.

Kronecker fue el primero que se opuso, y su enfrentamiento con Cantor fue legendario. Se dice que le costó la razón a Cantor, se lo acusa a Kronecker de obtuso, o dinosaurio que se resistía a morir, pero gran parte del problema es que todavía no estaba clara la base de la discusión. Recién se estaba digiriendo el paraíso cantoriano como para entender las críticas -tan profundas- que Kronecker le hacía.

12 comentarios:

Anónimo dijo...

equipos inferiores como racing y boca, si?

JuanPablo dijo...

mmm... yo no lo escribí ;)

leonbloy dijo...

No sabía nada de las historia
de Cantor.
Acá comenta algo de problemas mentales del tipo depresivos, y con alguna relación (no de causalidad directa, dicen) con las disputas con Kronecker.
Tampoco tenía idea de su lado religioso (luterano devoto, dicen).

JuanPablo dijo...

cantor llega a ser docente resolviendo en parte un problema que estaba dando vueltas desde hacía mucho tiempo: ¿una serie de fourier es idénticamente nula si y solo si sus coeficientes son cero?, y para poder avanzar tuvo que desarrollar la teoría de los infinitos.

si tenés ganas de ver más sobre el tema, te recomiendo "
href="http://www.math.caltech.edu/people/kechris.html">set theory and uniqueness of fourier series
" un excelente artículo de Alexander Kechris (en la página 40, el artículo 'diverge' y yo ya no lo puedo seguir...)

Fernando G. Toledo dijo...

Hola. Quería consultarte sobre el concepto de "infinito absoluto" de Cantor. ¿Es un salto, una gambeta, para resolver la paradoja de las clases? Si hay siempre un infinito mayor, éste pertenece a la serie de todos los infinitos. Pero, ¿hay algo más grande que la serie de todos los infinitos? ¿O son todos infinitos "parciales", "relativos", etc.? Si hay algo "más que infinito", ¿no serán algos? Recordar que Cantor, para colmo, quería hacer corresponder ese infinito absoluto con Dios (sic).

JuanPablo dijo...

hola Fernando. Vamos por parte, que el tema no es tan simple.

Antes de contestarte te podría preguntar si estás hablando de cardinales u ordinales, porque un clásico error es confundir las dos cosas, pensar que son lo mismo.

En cardinales, no tiene sentido a priori dentro de ZFC un "infinito absoluto": dado un conjunto A, el conjunto 'partes de A' tiene cardinal estrictamente mayor. No hay un último conjunto, con un cardinal que sea el más grande de todos. Esto, contrario a lo que puedas pensar, se conoce como la paradoja de Cantor, y la demostró él, demostró que no hay un cardinal mayor que todos (es muy similar al tema del conjunto de todos los conjuntos, pero en esta versión se debe a Cantor).

Pero ahí es donde podés frenar y ver si eso no te hace sonar alguna alarma antes de descartar la posibilidad de un infinito mayor que todos como una teoría sin sentido.

A ver: los naturales (1, 2, 3,...) son infinitos, 'viven' dentro de los reales, y no hay un ultimo número real: dado x, tenés siempre x+1 igual que si tenés un natural n, n+1 es otro natural. Pero en análisis introducís el infinito (y hasta la recta extendida, poniéndolo como un punto más), y lo representas con un 8acostado. Y ahora, vale que 8acostado + 1 = 8acostado. Cualquier estudiante de ingeniería lo sabe, y le resulta super lógico y razonable. ¿Qué impide pensar entonces en un infinito que trascienda a los conocidos?

Ahí es donde conviene empezar a distinguir cardinales de ordinales. Si bien en cardinales aleph_a + 1 = aleph_a (e incluso aleph_a + aleph_b = aleph_a si b menor que a), con los ordinales se complica: un ordinal es el conjunto de los ordinales anteriores (por ej: vacío es 0, {0}= 1, {0,1} =2; etc.) Cuando se te acaban los naturales, viene w (podés identificarlo con aleph_0, si querés); le sigue w+1: {\it pero aquí no vale la aritmética de cardinales!}: w < w+1< w+2... después viene w.2, w.2+1... w.w... hasta que llegues al primero no numerable, etc.

Cuando uno considera el conjunto de todos los ordinales como un conjunto en si mismo, debería corresponder al ordinal siguiente... y ahí llegaste a la idea de un infinito mayor que la serie de todos los infinitos.

Decís al final: {\it Recordar que Cantor, para colmo, quería hacer corresponder ese infinito absoluto con Dios (sic).}

Viendo tu blog, me suena que querés hacer sonar todo como absurdo basado en eso (¿o será que le temés a la idea de un infinito absoluto por lo que pueda implicar?). Como sea, lamento decirte que no se lo puede barrer abajo de la alfombra por razones teológicas, ni antiteológicas.

Quine planteó en 1937 su teoría de conjuntos conocida como NF, que hasta el día de hoy sigue dando vueltas con todo derecho a existir y en distintas versiones (NFU, NFA, NFB, NFM...), así como ZFC también muta a ZFvN, etc. Resulta que aquí la idea de un ordinal mayor a todos anda perfecto! Si querés info más técnica, te recomiendo seguir los links de esta página, o leer este libro.

Espero haber contestado -mas o menos- tu pregunta, cualquier duda insistí!

JuanPablo dijo...

qué nabo que estoy, pongo \it como si fuera latex!!

deformamiento profesional...

Fernando G. Toledo dijo...

JUAN PABLO:

Muchas, muchas, muchísimas gracias por la respuesta. Pero cualquiera de mis dudas implicaría una duda anterior, que sería formulable así: "Lo que no entiendo no sé si es porque no entiendo nada o porque no entiendo sólo esa parte". En fin, lo que sí entiendo es que desde Cantor es posible imaginar un infinito mayor a todos los infinitos, y que probablemente ése sería el "absoluto" (sic) de Cantor. Lo que no entiendo es la frase ¿o será que le temés (...) con todo lo que puede implicar?. ¿Es que eso puede implicar algo, por ejemplo, que la extrapolación de ese infinito absoluto hacia la idea de Dios es lícita? Yo no temo nada. A mí me parece que la extrapolación es gratuita y que lo sería si yo supusiera que, merced a que no existe un mayor cardinal, no existe Dios (¿?). Coincido más bien con la idea de que los descubrimientos de Cantor no pueden ser barridos (ni exhibidos, agregaría yo) por deformaciones profesionales teológicas o antiteológicas.

JuanPablo dijo...

A ver, a lo que iba con ¿o será que le temés... es que cuando escribís "Recordar que Cantor, para colmo, quería hacer corresponder ese infinito absoluto con Dios (sic)" estás agregando un factor de valoración sobre ese posible 'infinito absoluto' extramatemático, y por lo tanto, no sirve como argumento para negarlo (ni tampoco para afirmar la existencia de Dios a partir de la existencia de ese infinito, creo que en esto estamos de acuerdo).

No sé cuál es la extrapolación gratuita, tampoco Cantor quiso igualar ese infinito absoluto a Dios (me gustaría conocer el origen de tu cita, por el (sic) que incluías, y que volvés a incluír: "que probablemente ése sería el "absoluto" (sic) de Cantor"). De hecho, tengo entendido que Cantor afirmaba todo lo contrario:

"The totality of all alephs cannot be conceived as a determinate, well-defined, and also a finished set. This is the punctum saliens, and I venture to say that this completely certain theorem, provable rigorously from the definition of the totality of all alephs, is the most important and noblest theorem of set theory. One must only understand the expression "finished" correctly. I say of a set that it can be thought of as finished (and call such a set, if it contains infinitely many elements, "transfinite" or "suprafinite") if it is possible without contradiction (as can be done with finite sets) to think of all its elements as existing together, and to to think of the set itself as a compounded thing for itself; or (in other words) if it is possible to imagine the set as actually existing with the totality of its elements. So the "transfinite" coincides with what has since antiquity been called the "actual infinite", and is to be considered as an ajwrismenon (something determinate). (...) In contrast, infinite sets such that the totality of their elements cannot be thought of as "existing together" or as a "thing for itself" or an ajwrismenon, and that therefore also in this totality are absolutely not an object of further mathematical contemplation, I call "absolutely infinite sets", and to them belongs the "set of all alephs"."

(carta a Hilbert, 1897) Como podés ver, el propio Cantor dejaba de lado la idea de ese infinito absoluto. El tema es que con lo que estaba introduciendo, estaba chocando con la barrera del infinito potencial vs. el infinito actual, y el problema es que a veces se le llama infinito absoluto al infinito actual. La idea es bastante vieja (Santo Tomás: Things other than God can be relatively infinite, but not absolutely infinite).

Cantor introducía en forma efectiva infinitos absolutos o actuales: la filosofía (matemática) del siglo XIX era que el infinito era 'una forma de hablar' (Gauss), pero no una entidad u objeto, algo era infinito si no estaba limitado. Hasta Cantor, el infinito era el infinito potencial, que venía ya de los griegos (para Euclides, las rectas no eran infinitas, sino que podían prolongarse indefinidamente). El infinito potencial era lo único que se necesitaba para el principio de inducción, y las construcciones de números reales vía límite de sucesiones de números racionales tenía como base esta filosofía del infinito. Con Cantor, el infinito pasa a ser algo actual o absoluto, que está acá delante nuestro ocurriendo: los naturales son un conjunto 'concreto', infinito, y le asigna un cardinal; lo mismo pasa con otros conjuntos. El problema aparece cuando otros conjuntos, como los reales, pasan a tener un cardinal mayor, y así sucesivamente. Resulta que hay más de uno, y bien se podría entonces pensar en uno que englobe todos, pero esa es la pardoja del conjunto de todos los conjuntos, y por eso Cantor decía que estaba fuera de toda consideración matemática.

Ahora... pasan cosas raras una vez que uno acepta que hay infinitos y que se los puede manipular. La teoría de Quine anda bastante bien, y permite considerar ese "infinito absoluto", linda sorpresa hubiese sido para Cantor enterarse!

Fernando G. Toledo dijo...

Me queda claro lo que decís a partir de la cita de Cantor. Con respecto a la frase que nos reprochamos, te recuerdo que vos la colocaste por primera vez en un contexto particular: Viendo tu blog, me suena que querés hacer sonar todo como absurdo basado en eso (¿o será que le temés a la idea de un infinito absoluto por lo que pueda implicar?). Como sea, lamento decirte que no se lo puede barrer abajo de la alfombra por razones teológicas, ni antiteológicas.. Ahora te entiendo mejor y supongo que vos también a mí: no me parecía absurda la posible manipulación de infinitos, sí que se lo use como prueba de una invención teológica. Ciertamente, no recuerdo puntualmente de dónde saqué la idea de infinito absoluto=Dios (una fuente confiable, digo). Pero si te fijás en el artículo de Cantor de la Wikipedia te vas a encontrar con esa relación.
Gracias de nuevo.

JuanPablo dijo...

primero, gracias a vos, porque me hiciste revisar cosas que hace años no veía!

la verdad es que mandé la frase sobre que querías hacer sonar todo absurdo a causa de una supuesta relación religiosa porque es una actitud que cada día se está viendo más (casi todo el debate sobre el principio antrópico -y el desprestigio del mismo- está basado en un argumento similar, pese a que grandes científicos -muchos de ellos ateos, como Hawking, o Weinberg- lo defienden y lo usan!, la traducción de las obras de Newton, etc.), y me sonó que tu frase "Recordar que Cantor, para colmo,..." me sonó que iba en esa línea.

Dark_Packer dijo...

En mi blog he publicado el siguiente artículo (podemos comentarlo allí o aquí, como prefieras):

LA IMPOSIBILIDAD DEL INFINITO MATEMATICO ACTUAL

Estoy preparando un artículo filosófico sobre la cuestión del infinito actual y quería contrastar ideas sobre todo con matemáticos. La afirmación de los “infinitos potenciales o posibles”, que en realidad son sólo “indefinidos”, no crea problemas, pero sí en cambio la de infinitos actuales.

Mi intuición de fondo es la siguiente: las bases de las matemáticas o "conceptos primitivos" son "numero" y "conjunto" (una versión matemática de "parte" y "todo").

Por otro lado, la formalización de noción de infinito actual o infinito como un todo requiere del desarrollo de la teoría de conjuntos cuyo desarrollo ``se puede decir que inició con los trabajos de Bolzano'' (Ortiz,1994).
Cantor en el siglo XIX desarrolló la teoría de conjuntos y la teoría de números transfinitos con lo cual indica que ``la existencia de un infinito potencial presupone la existencia de un infinito actual.'' (Ortiz,1994)
La teoría de conjuntos desarrollada por Cantor tiene en su fundamento una axiomática consistente que permite construir los conjuntos y posteriormente establecer el concepto de infinito. Para esto es necesario definir el concepto de "cardinalidad'' o "Potencia'' de un conjunto.
Dos conjuntos S y T se dicen que tienen el mismo número de elementos o que tienen la misma cardinalidad o son equipotentes, si existe una función f biyectiva definida de S en T (1)

Para afirmar la existencia de infinitos actuales Cantor echa mano de la biyección (correspondencia) entre un conjunto de números (p.ej: naturales) y un subconjunto de los mismos (pares), con lo que el el axioma de que "el todo es mayor que las partes" queda anulado. Esta es una de las definiciones de infinito actual: "Un conjunto A es infinito si existe un subconjunto propio B de A equipolente a A; en cualquier otro caso A es finito."

Pero en mi opinión hay una trampa del lenguaje en que caen los que sostienen el infinito actual, y es la siguiente (lo presento con un ejemplo plástico): tenemos un conjunto de 1.OOO.OOO de ladrillos, y con esos ladrillos construimos una casa, pero podríamos construir un puente, o un monumento; la casa, el puente y el monumento son subconjuntos del conjunto de ladrillos y coinciden en tamaño con él. Pero… y aquí esta la trampa: ¿podemos decir que la catedral está contenida esencialmente en la definición del conjunto de ladrillos? Evidentemente no, sino que la idea de la catedral es impuesta por la inteligencia del arquitecto tomando como base los ladrillos, es decir, hay la intervención de un elemento extrínseco al ladrillo, pues no se puede deducir analíticamente la “catedraleidad” a partir del conjunto de ladrillos. Por lo tanto, la catedral, la casa, el puente, etc, no están contenidas intrínsecamente en la definición del conjunto de ladrillos, no son un subconjunto, o dicho de otra forma, no son las partes del todo-conjunto de ladrillos.

Apliquemos el ejemplo dicho a los números naturales (ladrillos) y los números pares (catedral): aunque los números pares evidentemente se fundamentan en los naturales para ser definidos, no podemos decir que la definición de los números pares esté incluida necesariamente en la definición de los números naturales, es decir, que los números pares son superfluos al conjunto de números naturales, y por lo tanto no son parte de ese conjunto, pues no lo constituyen intrínseca y necesariamente, es decir, no son un subconjunto.

Recordemos que lo que da existencia a los entes matemáticos son las definiciones de nuestra mente, y si para la definición del conjunto de números naturales no es necesario recurrir a los números pares, entonces estos últimos no son parte del conjunto de los naturales, no están contenidos en él, no pueden ser deducidos de forma analítica a partir de la definición de los números naturales.

¿Entonces que ocurre entre la serie equipolente de números naturales y números pares? ¿No es un infinito actual? No, pues aunque las dos series tienen el mismo tamaño, la una no es parte de la otra como su todo (no es un subconjunto –recordemos que el hecho de que un subconjunto tenga el mismo tamaño que el conjunto es esencial para definir el infinito actual-). Pero se me objetará: ¿cómo es posible que los números pares no sean parte de los números naturales? Respondo: de hecho lo son, pero porque yo decido inventar la definición de números pares, a posteriori, a partir de los naturales, pero no porque los pares formen parte de la definición de los naturales.

¿Entonces que ocurre finalmente con la equipolencia que se da entre las dos series de números? Yo diría que son como dos líneas paralelas: una sirve para dibujar la otra, pero no la contiene, son paralelas. En este esquema no es necesario recurrir al axioma de la existencia de un infinito actual como una unidad, como algo completo, basta con utilizar la noción de “infinito posible” o, lo que es lo mismo, “indefinido”.

A parte de las consecuencias que una posición así puede tener para las matemáticas cantorianas, querría señalar todavía una cosa más: la noción de “conjunto” o de “todo”, compuesto por elementos finitos como los números, pero en cantidad “infinita”, parece implicar una contradicción lingüístico-conceptual de base, que falsea toda la reflexión sobre el infinito, ¿por qué? porque nuestra experiencia de conjuntos, de todos, siempre es finita, e implica la noción de un círculo cerrado o que se puede cerrar-abarcar. Afirmando que los “conjuntos o todos infinitos” son pensables me parece que estamos cayendo implícitamente en la contradicción de hablar de conjuntos que no son conjuntos, o de todos que no son todos. La matemática no escapa a los límites del lenguaje.

Este artículo tenía como objetivo mostrar la confusión en que se apoya la afirmación de la existencia de un infinito actual: la errónea consideración de ciertas series de números equipolentes (naturales y pares, por ejemplo) como si fueran un conjunto y su subconjunto, en vez de reconocer que en realidad son dos conjuntos diferentes (aunque uno depende del otro en la génesis de su definición).

Notas:

(1) “Reflexiones sobre El Concepto de Infinito.” Pedro Díaz Navarro, Escuela de Matemática,
Universidad de Costa Rica