1076.- Demostracion por el absurdo

Comenta vqp:

A mi siempre me parecio arbitraria la logica binaria: Que pasaria si la proposicion: "Si una proposicion no es verdadera, entonces es falsa", no es verdadera?
Si hay otra opcion a la logica binaria, madrina del causa-efectismo y cemento con el que esta construida la villa de emergencia matematica, no se vendra abajo todo?
Me da miedo... si eso pasa voy a tener que rendir Analisis Matematico III otra vez?

Una boludez total, poco seria, una imbecibilidad propia de... Momento, veamos las cosas con más cuidado.

Reformulemos el entrecomillado: Tenemos un enunciado y queremos saber si es verdadero o falso. Suponemos que es verdadero y llegamos a una contradicción. Luego, el enunciado es falso [también vale a la inversa: suponemos que es falso, llegamos a algo contradictorio, luego es verdadero].

Este es nada más y nada menos que el conocido método de demostración por el absurdo.

Una de las demostraciones más viejas que lo usa es:

Teorema: hay infinitos números primos.
Dem: supongamos que no, que son p₁, ... , p_k, y armemos el número M = p₁x...xp_k+1, como ninguno de los primos lo divide, o M primo, o es divisible por algún otro primo distinto de los considerados. Pero como dijimos que eran todos, tenemos el absurdo: no pueden ser finitos. Ergo, son infinitos. Copyleft: Euclides, dos coma cinco milenios atrás, en su blog en papiros "Mis Elementos".

Esta ley lógica se remonta al menos a Aristóteles, y se puede camouflar como el principio de no contradicción (si es A, no es no A), o del tercero excluído (A es B, o A no es B).

Si no es blanco es negro, diría un maniqueo, y ahí se equivocaría: Si es blanco, no es negro. Claro que tendría razón en el caso de haber sólo dos colores, entonces es blanco o es negro, y negar uno es afirmar el otro.

Alguien podría argumentar que hay más colores: verde, por ejemplo. Esa no es una objeción real: si no es blanco, puede ser negro o verde, y ahora decidimos si es negro o verde. En general, si hay finitas opciones, se puede ir descartando de a una sin llegar a contradicciones.

Pero

Si, siempre hay un pero. Si hay infinitas opciones, hace apenas una décima de milenio, unos cuantos matemáticos se hicieron mas o menos la misma pregunta de vqp. Y no sólo estaban dispuestos a voltear la villa de emergencia, sino que pensaban reescribir los cursos de Análisis III.

Si no tuvieron mayor éxito, se debe a tres razones:

a) que fueron excelentes matemáticos tradicionales,

b) que esta matemática era más que difícil, y

c) que se adelantaron por 50 años y no tenían computadoras.