1620.- Otra demo y van...

Parecería ser que √2 no es un número racional.

Esto quiere decir que √2 no sería de la forma a/b con a y b naturales.

En otras palabras, si multiplicamos √2 por un natural n, nunca tendríamos otro natural.

* * *

Llamemos A al conjunto de naturales n tales que n √2 es un natural, y veamos que es vacío.

* * *

Pero √2 > 1, así que si n√2 = m =n+j con j mayor o igual a 1,
despejando
n(√2 - 1) es natural.

Nuestro conjunto A está incluído en otro B, los naturales tales que n(√2 - 1) es natural.

Y, si n está en B, n(√2 - 1) también, porque

n(√2 - 1)(√2 - 1) = n(2-2√2 +1)
n(2-2√2 +1) =n - 2n(√2 - 1)

todos son enteros, y el número es positivo, porque n(√2 - 1)(√2 - 1) = n(√2 - 1)²
.

* * *

Si le digo que ya está, capaz que no me cree.

Pero el argumento es que B vive en los naturales, y entonces tiene un menor elemento, h.

Pero ese menor elemento de B multiplicado por (√2-1) es otro elemento de B, más chico. Así que B es vacío.

Y como A está incluído en el vacío, no puede tener muchos elementos. Ninguno, en realidad.

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