1603.- Por qué no los vemos? - CdM XI

Por tercera vez en los últimos cinco años (cuarta, si cuento otra universidad) me toca dar un curso de probabilidades y estadísticas. Así que es hora de buscarme nuevas historias para contar (el público siempre se renueva... al menos en la mayor parte, pero soy yo el que comienzo a aburrirme).

* * *

Abraham Wald era austro-húngaro (estrictamente, rumano). Un dato menor, sobre alguien conocido por sus trabajos en estadística, pero otro de la larga lista de científicos de primer nivel que estaban activos durante la segunda guerra mundial trabajando para los yanquis.

Por ejemplo, von Neumann, von Karman, Wigner, Teller, Szilard... todos ellos húngaros, podrían haber desarrollado la bomba en Europa, y hoy otra sería la historia del mundo.

Cuentan que cierto día, hablando en Los Alamos durante un almuerzo sobre la existencia o no de extraterrestres, todos coincidían en que debía haberlos. Fermi había hecho rápidamente uno de sus famosos cálculos, conocidos hoy como problemas de Fermi (¿cuántos pianistas hay en California?), y veía que el resultado chocaba con los datos observacionales. Y formuló su paradoja:

Si la probabilidad de que los haya es tan alta, ¿por qué no los vemos?

Se dice, también, que Leo Szilard estaba presente y respondió:

Ya están entre nosotros, y se llaman húngaros!

* * *

Es difícil preguntarse -y más, responder honestamente- sobre lo que no vemos. Hace poco leía una discusión en uno de los blogs que sigo, y era clarísimo cuánto cambiarían las posturas -y sobre todo, los argumentos absurdos- si se hubiese preguntado por la existencia de extraterrestres.

Pero no siempre es fácil abstraerse de las ideas preconcebidas que tenemos, y tendemos a pensar que lo que no se observa, no existe. Pensar con claridad es difícil cuanto más visceral es el tema, y tal vez por eso fue alguien de afuera quien miró correctamente una imagen como la siguiente:



Wald estaba en Columbia, y les cayó como problema analizar el efecto de los impactos en los aviones militares, ya sea para cambiar las tácticas de combate, o para reforzar partes del fuselaje. El MacTutor dice sólo "He used his statistical expertise to develop a method to estimate aircraft vulnerability". Si alguien se quiere bancar las cuentas, un análisis sobre su trabajo puede verse en el JASA (los que no tengan acceso, lo pueden bajar de la página de uno de los autores). También están las casi 100 páginas del original, dando vueltas vía la wikipedia.

La imagen anterior es de Cameron Moll, Wald recibió tablas de datos, y en su trabajo se ve claramente cómo dividió el avión en sectores y contó los impactos que se observaban en los que volvían de distintas misiones.

La propuesta de Wald, brevemente, fue proteger más las áreas menos golpeadas... lo cual puede parecer absurdo, pero no lo es. Su razonamiento era lógico:
Lo que no vemos, justamente, puede ser lo más importante.

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Los aviones analizados eran los que volvían, pero suponiendo que los impactos se distribuían por igual, eso indicaba que no volvían los aviones que recibían los disparos en las zonas que quedaban con menos marcas.

Las objeciones sobre su suposición son vacías: en la época, sin radares ni métodos de precisión para disparar, con vuelos nocturnos y disparos a ciegas desde las defensas en tierra (basados más en barreras de fuego que en apuntarle a los objetivos), uno esperaría una distribución uniforme de los disparos.

Estadísticamente, se estaba metiendo con los llamados datos censurados, afectados en este caso por el -muy literal- survivor bias.

No era el primero, claro: Daniel Bernoulli, doscientos años antes, había incursionado en el tema. Pero esa es ya otra historia.


Post para la Edición 2.1 del Carnaval, esta vez en el blog de su fundador: Tito Eliatron

1597.- Loterias, seguros, alarmas y mantenimiento - CdM X

No pensaba postear este Carnaval (que por acá son vacaciones!) pero me decidió la cantidad de posts que vi el mes pasado sobre las loterías, y el tema se multiplicó en las redes, comentarios, linkeos, buzzeos.... Algunos llegaron a ser ofensivos: que el juego es el impuesto al idiota, que es para los imbéciles... llegando a perder de vista que deberíamos, si pretendemos hacer alguna clase de divulgación, tratarlo lo más científicamente posible. Gaussianos fue la excepción: ni él ni sus comentaristas agregan estos juicios de valor, y se limitan a las cuentas puras y duras.

Lo más triste es que esta misma gente que dice lo que dice no tiene reparos en asegurar su automóvil, ponerle alarmas de robo, revisarlo con un mecánico antes de un viaje, contratar coberturas médicas o hacerse chequeos...; y hasta se ofenderían si se los trata de idiotas por esto. Pero las motivaciones atrás de unas y otras conductas son las mismas, así que nones: somos todos una manga de boludos.

Bien, así que vamos entonces a defender, no el juego ni mucho menos al jugador patológico, sino a la conducta completamente racional de jugarse un numerito de vez en cuando, o un billete una vez al año a la lotería.

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Un concepto clave para acercarse al tema es la utilidad esperada: se supone que uno analiza los valores esperados de las decisiones que estamos por tomar, y elige la de mayor esperanza en el sentido probabilístico.

Otro, es que nuestra función de utilidad (resumiendo, mide el valor que le damos a una cantidad de dinero), no debería ser lineal, sino cóncava, como raíz de x o el logaritmo: deberíamos valorar más que nuestro capital aumente 1 peso cuando tenemos poco que cuando tenemos mucho.

Y eso nos tira de cabeza en la aversión al riesgo: con una utilidad cóncava, valoramos más un peso que apostarlo a una lotería cuya esperanza de pago también es un peso... ni hablar entonces de jugar si el pago es menor, como bien calcularon Gaussianos o Tito!

Si tomamos estas tres cosas como axiomas inamovibles, usual en la teoría de juegos, no deberíamos jamás apostar a menos que la esperanza matemática sea positiva.

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Pero. Porque la cosa tiene su pero.

Para empezar, esto aplicado al hombre común asume que sabe proba y que puede hacer todas las cuentas... una suposición fallida por donde se la mire. Y no es cuestión de llamarle tarado al ignorante, que ahí ya hay un error, cometido desde la soberbia del que sabe.

Por otra parte, asumimos que sólo la cuestión monetaria afecta la función de utilidad y que sólo juega para maximizar su riqueza: que no está comprando el boleto por tradición, o con unos amigos o compañeros de oficina como parte de una camaradería que aún perdiendo se fortalece, o que la esperanza (no la matemática, la de ganar) tampoco vale nada. Y al llamarlo idiota por eso ya hay otro error, despreciar el valor de lo humano, cometido desde la pedantería de creerse tan frío como las matemáticas que uno sabe.

Y por último, creer que la utilidad la elegimos racionalmente nosotros, y que decidimos si es cóncava o convexa a voluntad, y no algo intrínseco a nuestra naturaleza, que difícilmente cambiemos por mucha matemática que aprendamos. Y ahí también ya hay otro error, porque ya estamos hablando de algo que no entendemos del todo, y se relaciona con la diversidad de nuestros gustos, un error que se comete desde la ilusión de que todo es medible con una única escala de valores posible, algo que debería detectarse como falso por poca matemática que se sepa.

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Y mientras voy empezando, ya terminé, así que dejo para una segunda parte el resto: la relación con los seguros y las alarmas y el mantenimiento.

Me voy a hacer una quiniela y sigo tipeando.

1592.- Mala suerte - CdM VII

Otro Carnaval, y dejo una pseudo-paradoja que le debo a mi compañero de oficina (un grande!).

Supogamos que se me rompe el teléfono (o internet) y reclamo para que lo arreglen. El tiempo que tardan en arreglármelo es un cierto tiempo aleatorio T₀.

Como no se si ese tiempo es poco o mucho, empiezo a preguntarles a mis amigos cuánto tardaron en arreglarles a ellos el teléfono (o internet) y voy obteniendo una sucesión de tiempos T₁, T₂, T₃, T₄...

¿Cómo puedo saber si tengo mala suerte? Bueno: si tengo que preguntarle a miles de personas antes de encontrar a una que le hayan tardado más tiempo en el arreglo, eso podría ser una señal de mi mala suerte. Usando proba, calculo el valor esperado del número de consultas que debo hacer antes de encontrar a alguien así.

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Para calcularlo, debo tener una variable aleatoria X, donde X=n si recién la n-esima persona me dice que le tardaron más que a mí.

Ahora, tenemos la probabilidad P(X > n)=1/(n+1), pues quiere decir que mi tiempo es peor que el de los primeros n,

T₀> max {T₁, T₂,..., T_n};
y como los n+1 tiempos tienen la misma distribución, puedo considerar que son equiprobables.

¿Cuánto es la probabilidad P(X = n)? Bueno, es la probabilidad de que sea mayor a n-1 pero no mayor a n:

P(X=n) = P(X>n-1) - P(X>n) = 1/n - 1/(n+1) = 1/n(n+1)

Ahora, para calcular la esperanza, debemos sumar la serie de término n.P(X=n) = 1/(n+1), que prácticamente es la serie armónica, y todos sabemos que diverge.

Efectivamente, parece que tengo mucha mala suerte: espero consultarle a infinitas personas antes de encontrar a una que le haya ido peor que a mi.

Mi colaboración para el Carnaval de Matemáticas, esta vez a cargo del Máquina de Turing.

1587.- Turing, probabilidades, y estadistica (CdM-VI)

La vida de Alan Turing es una de las más variadas entre las de los distintos matemáticos del siglo XX. Hay mucha información dando vueltas referida a su influencia en la lógica y la computación, y su nombre sobrevivirá unido al test y las máquinas de Turing.

En general, se suele hablar de su trabajo en Bletchley Park en relación a quebrar los códigos alemanes, y ahí es donde suele haber una confusión: no llegó a ese lugar por la lógica o la computación (que estaba en pañales, aclaremos), sino por su trabajo previo en una oscura rama de la matemática que pocos entendían en esa época. Aunque sí usó la lógica en cierto momento...



Una anécdota donde usó la lógica.

Cuenta Lipton en The P=np Question and Godel's Lost Letter la siguiente historia: después de Dunkerque los ingleses esperaban la invasión alemana. Entre otras medidas, crean la Home Guard para entrenar civiles, y como Turing no sabía manejar un arma, se acercó (voluntariamente) a recibir instrucción militar. Allí, llenó un formulario que terminaba:

Usted comprende que al firmar este formulario puede ser convocado al ejército en cualquier momento.

Turing firmó, pero aclaró: "No".

Tiempo después fue convocado, y si bien por su trabajo (ultrasecreto) no necesitaba ni presentarse, fue sonriente a la entrevista con el oficial, se negó a entrar al ejército, y cuando éste le indicó que había firmado aquel formulario, Turing le dijo que había respondido "No". Seguramente el caso se resolvió más arriba, pero según Lipton, parece que lo sacaron a patadas de esa reunión.



Sus matemáticas.

Pero volvamos al objeto del post, que para anécdotas divertidas, ya contamos aquella de cuando conoció a James Bond (bue, a Ian Fleming, el papá)... hace ocho años!!

En este caso quiero retroceder a 1934, cuando termina sus estudios y decide postularse como Fellow en Cambridge. Como se les pedía a los postulantes evidencia de investigación individual, escribe un paper sobre un tema que hoy se enseña en casi todas las universidades del mundo (y no solo en ciencias, también en carreras de Ingeniería y Económicas): la gaussiana (vayan a verlo... es el original!).

Los resultados de Turing en este trabajo no son menores: demuestra el Teorema Central del Límite para 'varianzas dominadas' (para abreviar, es casi la condición de Lindeberg, de 1922), demuestra una versión más débil del Teorema de Cramer (si la suma de X e Y es normal, y son independientes, ambas son normales, Cramer 1936), y analiza la casi-suficiencia de su condición para que valga el TCL (se anticipa a la condición de Feller-Levy, 1936).

Pensemos, para situar sus resultados, que Cramer, Levy y Feller ya estaban doctorados, y trabajaban en estos problemas desde hacía tiempo.




La época.

Europa, década del '20. La teoría de probabilidades recién empezaba a formalizarse, ni hablemos de la estadística. Apenas un puñado de matemáticos en distintos lugares tenía alguna idea de probabilidades, y no coincidían ni en los métodos, ni en las implicaciones prácticas de sus teoremas. Las versiones de Borel, von Mises y Kolmogorov se disputaban el lugar de la verdadera teoría de probabilidades.

Había acuerdo sobre el caso finito, basado en la combinatoria, y desde Laplace que se lo comprendía. Ya Bernouilli con sus ensayos, de Moivre, Euler, Poisson... habían hecho contribuciones al caso discreto, pero el continuo era un mundo aparte.

Por ejemplo, Hardy había doctorado a Harald Cramer en 1917, en teoría de números. El propio Hardy le señaló a Cramer, diez años después, que en Inglaterra ni siquiera había libros sobre probabilidades, y le sugirió traducir sus notas al inglés. Ahí se origina su The Elements of Probability Theory and Some of Its Applications, y más adelante, un clásico que hasta hoy se consigue.

En la década del '30 aparecerían por fin los matemáticos que moldearían la probabilidad y la estadística: Paul Lévy, Bernstein, Khinchin, Fisher, Neyman, Pearson y Feller.

Turing bien pudo formar parte de ese grupo, pero no consiguió nadie en Inglaterra (en 1935) capaz de evaluar su trabajo. Sí consiguió el ingreso a Cambridge, y se inclinó por la lógica.

Y el resto es historia (más o menos) conocida.


(post para el VI Carnaval de Matemáticas, esta vez recopilado por Sangakoo)

1532.- Como ganar a la ruleta

\begin{d i s c l a i m e r}

si explico las cosas que estuve leyendo en esta 'ausencia' del blog, me imagino el tipo de calificativos que van a comenzar a llover: chanta - estafador - mentiroso - ladrón - chorro - garca - ... y si menciono el método cuántico supongo que ma acusarán de dedicarme a la pseudo ciencia y ser un magufo en regla.

Pues no, para nada. O, en todo caso, mereceré los calificativos por otros motivos, y no por este. La principal desmentida que puedo hacer es que no cobro por vender ningún método. Segundo, que tampoco voy a comunicar el método. Y tercero, que no voy a decir de dónde lo saqué, para que nadie lo encuentre por su cuenta (una pista: un artículo bajado del JSTOR, y otro de ProjectEuclid, dos bases científicas serias). Conste además que entre ambos artículos llegan casi a 300 citas.

\end{d i s c l a i m e r}

Bien: contra todo lo que he afirmado en el curso de proba que terminó la semana pasada, es posible aprovecharse del casino y ganarle (en promedio) a la ruleta. Es decir, con laburo, se pueden incrementar las chances de ganar y uno tiene la esperanza a favor (casi 1/5, si no recuerdo mal, y no el -1/37 habitual fruto de suponer equiprobabilidad de los resultados). El 'método newtoniano' -predecir el recorrido de la bola, etc.- no es tan efectivo, pero el 'cuántico' sí. Adivinen cuáles son los métodos, porque no los pienso decir.

* * *

Por lo pronto, un detalle nada menor que hay que resolver antes de correr hacia el casino más cercano: no alcanza con tener más probabilidades de ganar que el otro para hacerse rico (o para no fundirse). Hay que diseñar con cuidado un sistema de apuestas para aprovechar el viento a favor.

No es sencillo decidir cómo proceder. Para jugar con este problema, supongan que tienen un capital de 1000, y una moneda que tiene probabilidad 2/3 de salir cara, y 1/3 cruz. ¿Cómo deberían apostar para hacerse ricos y no fundirse? (Sug: conviene jugar siempre a 'cara', el problema es cuánto).

1458.- A vos te va a gustar

-A vos te va a gustar esto, odd sex change punto com.

-Eh?? Y eso??

-Dale, entrá, vas a ver que tengo razón!

-Uh, buenísimo!

1441.- De probabilidades, sudokus, y otras cosas alegres y tristes de la vida

Un sudoku de 16 casillas es como los habituales, sólo que tiene cuatro bloques donde se ubican los números del 1 al 4. Y de las 16, 4 suelen estar ocupadas como dato.

Ocupar las otras 12 correctamente al azar puede parecer que tiene probabilidad 1 en 12!, pero no: es mucho menos. [Fácil: ¿cuál es la probabilidad?]

* * *

A medida que ubicaba los números iba diciendo "en esta columna no hay un...", leyendo parcialmente la información de los ya ubicados y la regla de distribución de los números (faltaba la referencia a las filas). Nada mal, en promedio, a un sudoku por día, esto debería ocurrir cada cuatro años (3.5 si ya hay uno por columna, 4.7 si en una hay 2 y en otra nada).

* * *

Hoy se produjo este fenómeno, y considerando que está por cumplir tres años (el sábado), no me queda claro qué tan esperable era... sin contar que se acostó y se levantó con 38 de fiebre (aunque respondió rápido al termofren, así que tal vez haya que eliminar el resultado por una cuestión de dopping)

1421.- Y todavia quieren que me caiga bien

Teorema: toda sucesión decreciente de números
positivos converge... a cero.

Corolario: una secuencia decreciente de probabilidades converge... a cero.

Problem(it)a: adivine quién usó el corolario (sin demostrar el teorema, claro).

Ayuda: no fue ninguno de mis alumnos, por lo menos en los últimos meses.