1641.- Marche un Nobel para juegos...

Y por fin se dio: Shapley recibió el Nobel de Economía (junto con Al Roth)

Por fin se hizo justicia! En uno de los últimos posts decía "Shapley... pobre Shapley!", por la cantidad de cosas que hizo (juegos potenciales, indices de poder, y el tema por el que se lo dan, matching) sin que se lo dieran.

De matching conté algo hace un tiempo aquí (El lado oscuro de las matematicas), pero el que quiera el teorema posta y la demostración, se puede bajar este pdf que preparé hace un tiempo.

1543.- Tres teoremas sobre el agua y su falta de forma

Teor 1: Imagenemos un río, y pongamos una red hexagonal en una parte de la corriente de agua, entre las dos costas. Elegimos hexágonos al azar, y colocamos en ellos una columna de cemento (si dos son vecinas, se unen herméticamente).

Solo hay dos resultados posibles: o quedó abierto un curso de agua, o las columnas forman un dique. En definitiva, todo juego de Hex termina con la victoria de uno de los jugadores.

* * *

Teor 2. En un terreno llano colocamos columnas unas al lado de otra, herméticamente unidas la columna i con las i-1 e i+1 (y sólo con ellas), tal que la primera y la última también se peguen. Quedan dos regiones separadas, una acotada, que podemos llenar de agua sin que pase a la otra.

* * *

Teor 3: En un estanque cuadrado, agitamos el agua (suavemente) y al menos un punto no se moverá (o las aguas se abren).

Advertencia: los próximos párrafos contienen la demostración. Puede omitirse en una primera, segunda, tercera,... lectura. El simbolito √ delante de algunos números 2 se refiere a 'raíz'. El html no es math-friendly.

Veamos: si todo punto se desplazó al menos una distancia h, tapemos la superficie con una red de triángulos de diámetro d menor a h (diremos al final quiénes son h y d).

Pintemos los vértices de rojo si la coordenada x varió h/√2 o más. Si no, lo pintamos de verde (la coordenada y varió h/√2 o más).


el camino es sólo indicativo, podría ser cualquier otro

Quedará un camino de vértices rojos o uno de verdes (reemplace un triángulo por una columna si tiene al menos dos vértices rojos: tiene un dique, o pasa el agua). Supongamos que el camino es rojo, da igual. Comienza en a*, y la coordenada x aumentó al menos h/√2. Llega a b*, donde disminuyó al menos h/√2. Luego, en algún momento, se produjo un cambio de signos: en dos vértices de un mismo triángulo saltó al menos 2 h/√2 (que es mayor a h).


Ahora, necesitamos un poco de análisis para decir quiénes son h y d:

Si T es la transformación que agita el agua, y la norma euclídea de T(x,y)-(x,y) no se anula, es mayor a un h (pues es continua).

Las imágenes de dos puntos del cuadrado por T estarán a distancia menor que h si estaban a distancia menor a un d' (pues T uniformemente continua).

Luego, si d es menor a d', hay dos vértices de un mismo triángulo donde la función salta más de h. Ridículo!

* * *

Estos tres grandes teoremas son equivalentes entre sí. No es difícil demostrar alguna versión más o menos general una vez que uno tiene la idea.

Sobre ellos, digamos que el primero lo identifica a Jordan. Gauss lo utilizó varias décadas antes, sin demostrar, considerándolo 'evidente'.

Brouwer, intuicionista, rechazaba las matemáticas 'tradicionales', pero su teorema de punto fijo demostró ser de gran utilidad en la matemática clásica. Una aplicación que hizo fue generalizar el de Jordan a Rⁿ, cambiando curvas por hipersuperficies. Parece que Poincaré lo intuyó: su idea fue que si se echaba azucar en una taza de café y se revolvía, algún granito en la superficie no cambiaba de lugar (su teorema ergódico es una de las tantas ramificaciones de esa idea tan simple).

El Hex fue inventado por Nash (pocos años antes lo había inventado Piet Hein). La relación de este juego con el teorema de Jordan es evidente, no es difícil probar la equivalencia. Con Brouwer es más difícil, pero sale: la existencia de un equilibrio de Nash es consecuencia directa de este teorema (y le valió un Nobel). Para la otra implicación, sólo se debe revisar lo que hicimos arriba, una idea de David Gale.

* * *

La idea que los conecta es que el agua no tiene forma, pero nos revela la forma de los lugares que ocupa. Sirva de moraleja, o mejor que sirva de base para la demostración de algún otro teorema.

* * *

(especial para el Carnaval Matemático, organizado esta vez por Tito Eliatron)

1502.- Algo no trivial

Ya que tenemos latex, demostremos el Teorema de Punto Fijo de Banach:

Teorema: Dado X un espacio métrico completo, d(x,y) la distancia entre x e y, una constante c menor que 1, y una función T que cumpla

d(Tx, Ty) \le c d(x,y)

existe un punto fijo de T en X⁽¹⁾.

* * *
La demostración es medio un quilombo, y el Teorema de Banach-Cacciopoli se sigue de sumar la cola de una serie⁽³⁾. Para los que la conozcan, observen esta idea de Palais (2007) que la acorta bastante:

* * *
Como antes, se construye la sucesión x_i+1 = Txi = Tⁱx, para un x inicial arbitrario, y se muestra que es de Cauchy, pero usando este lema que depende de la desigualdad triangular:

d(x,y) \le d(x, Tx) + d(Tx,Ty) + d(Ty,y)

d(x,y) \le d(x, Tx) + c d(x,y) + d(Ty,y)

d(x,y) \le \frac{d(x, Tx) + d(Ty,y)}{1-c}

Con esto,

d(T^nx,T^mx) \le 
\frac{d(T^nx, T^{n+1}x) + d(T^mx,T^{m+1}x)}{1-K}

 \qquad \le 
\frac{c^n+ c^m}{1-K} d(x,Tx) 

y esto tiende a cero porque c es menor que 1.

(1) Si desplegamos un mapa de Buenos Aires⁽²⁾ en cualquier parte de Buenos Aires, habrá un punto del mapa que coincida exactamente su propia ubicación⁽³⁾.

(2) También funciona con otras ciudades y su mapa correspondiente, cosa'e Mandinga!

(3) En ciertos mapas, suele tener una flechita que dice "Ud. está aquí". Se recomienda no cambiar el mapa de lugar.

(4) En cambio, en el de Berlusconi⁽⁵⁾ se sigue sumando una serie de colas.

(5) En el quilombo, que Teorema no tiene.

1435.- Picard

El Teorema de Picard dice que una función compleja holomorfa (o analítica, o como les guste llamarla) en todo el plano, es constante o toma obligatoriamente todos los valores salvo -quizás- alguno.

En otras palabras, la imagen es un punto, todo el plano, o todo el plano menos un punto. Ejemplos de las tres clases: una constante, un polinomio, la exponencial.

* * *

Momento! ¿Cómo sabemos que la imagen de un polinomio es todo el plano? Si un polinomio Q(z) no tomara un valor c, digamos, el polinomio P(z) = Q(z)-c no tendría raíces... y eso contradice el Teorema Fundamental del Algebra (TFA).

* * *

Y el TFA es casi un corolario de Picard: supongamos que P(z) no tiene raíces. Entonces, f(z) = |P(z)| es estrictamente positiva, pero como f(z) es una función continua y positiva, que tiende a infinito cuando z tiende a infinito, obligatoriamente alcanza un mínimo r.

Resalto mínimo, porque ínfimo seguro que tiene al ser estrictamente positiva.

Pero si alcanza un valor mínimo r mayor a 0, la imagen de P(z) cae fuera de la bola centrada en 0 y de radio r. En otras palabras, hay infinitos valores que no toma, y eso no es correcto para un polinomio decente, pues según Picard, a lo sumo podría no tomar un único valor.

* * *

Metateorema: todo teorema de análisis complejo sobre propiedades de las funciones holomorfas implica el TFA.

Demostración: Ejercicio.

Hint: la parte difícil es encontrar todos los teoremas, la parte fácil es usarlo para demostrar el TFA

1418.- Perron, Perron, que grande sos

Ya usé el título hace 4 años (acá), pero esta es una nueva demostración que también le atribuyen a Perron:

Teorema: De todas las fracciones 1/1, 1/2, 1/3, 1/4,..., 1/n,..., la más chica de todas es 1/1.

Demostración: Claramente, si 1 < n, no puede ser, porque n < n², con lo cual 1/n² < 1/n. La única que nos queda por revisar es cuando n=1, y ahí 1²=1, así que no hay problemas y el teorema queda demostrado.

Corolario: 1 es el número natural más grande.

Demostración: se reduce al teorema anterior, como 1/1 < 1/n para todo otro número n, despejamos y queda n < 1.

Ejercicio: (fácil) prediga su máxima nota en éste o cualquier otro examen.

1324.- En el que trata de la invisibilidad de lo casi inmovil, o el teorema de la funcion inversa

Teorema trivial el de la función inversa...
(f^-1)' = 1/f'
¿Qué...? ¿el "-1" no quiere decir dar vuelta la fracción? Ah... claro! hay que derivar por el cociente, no? te queda...
(f^-1)' = (1/f)' = f'/f²

* * *
No, el TFI se parece mucho a (f^-1)' = 1/f', pero ambos lados están evaluados en puntos distintos, f: X --> Y, f^-1: Y --> X. Esa es la parte más hinchapelotas del teorema, por una perversión que a la hora de calcular inversas, nos piden que después de despejar la x en función de la y, le cambiemos los nombres (vía ese paso de magia, la inversa también va de X en Y...).

Bue, tecnici(ni)smos aparte, el teorema está bueno. Si f(x) = x², la inversa f^-1 es la raíz de y. ¿Y cómo se deriva la inversa?

-Derivamos la f, que nos da f'(x)=2x.

-Hacemos 1/f'(x) = 1/(2x)

-Ojo: no evaluamos en x, sino en la inversa, es decir, queda 1/(2 √ y).

* * *
Un ejemplo mejor es derivar la arcotangente, [arctg(x)' = 1/(1+x²)], pero mucho mejor es la siguiente aplicación: hay un pescadito que ve a su predador a una distancia x, y lo ve de un tamaño S (hagan un dibujo, un triángulo isósceles saliendo del ojo de la presa, de ángulo a, y base S (tamaño del predador).

Cuando el predador se mueve, el ángulo se modifica: si se aleja, se achica; si se mueve poco, no cambia mucho; si se acerca, el ángulo se agranda, y si se acerca muy rápido, hay que abrir grande el ojo para seguir viéndolo...

Eso es lo que hace la zebra danio (Brachydanio rerio... qué se fumó el que le puso el nombre?). Tiene su respuesta al peligro como un valor crítico de la velocidad a la que crece el ángulo a que mencionábamos: si la derivada del ángulo crece más rápido que ciero umbral k, sale rajando.

Y ahí viene el quilombo, porque hay que calcular la derivada de la función que nos da el ángulo cuando x varía como vt (v es la velocidad a la que se acerca la presa, t el tiempo).

Ni en pedo lo hago acá (hay que usar la regla de la cadena, también), pero les dejo el resultado. Si
4 S v / (S²+4x²) > k
la zebra danio sale nadando que ni se le ven las rayitas del lomo.

* * *
Un tal Lawrence Dill se avivó de esto en la década del '70. Googleando van a encontrar su página, otros papers en ese estilo, la cuenta bien detallada, etc.

Pero nos falta la invisibilidad de lo casi inmóvil.

* * *
Si despejamos x en la ecuación anterior, nos queda que la distancia de reacción es

x² < (v/k - S/4)S

Pero en esta ecuación, si la velocidad v a la que se acerca el predador es suficientemente baja, el lado derecho es negativo, así que ningún x (que está al cuadrado) puede ser una distancia de reacción.

Y zebra danio que no reacciona es almuerzo del predador.

* * *
La invisibilidad de lo casi inmóvil, para pseudópodo.