29.10.08

1435.- Picard

El Teorema de Picard dice que una función compleja holomorfa (o analítica, o como les guste llamarla) en todo el plano, es constante o toma obligatoriamente todos los valores salvo -quizás- alguno.

En otras palabras, la imagen es un punto, todo el plano, o todo el plano menos un punto. Ejemplos de las tres clases: una constante, un polinomio, la exponencial.

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Momento! ¿Cómo sabemos que la imagen de un polinomio es todo el plano? Si un polinomio Q(z) no tomara un valor c, digamos, el polinomio P(z) = Q(z)-c no tendría raíces... y eso contradice el Teorema Fundamental del Algebra (TFA).

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Y el TFA es casi un corolario de Picard: supongamos que P(z) no tiene raíces. Entonces, f(z) = |P(z)| es estrictamente positiva, pero como f(z) es una función continua y positiva, que tiende a infinito cuando z tiende a infinito, obligatoriamente alcanza un mínimo r.

Resalto mínimo, porque ínfimo seguro que tiene al ser estrictamente positiva.

Pero si alcanza un valor mínimo r mayor a 0, la imagen de P(z) cae fuera de la bola centrada en 0 y de radio r. En otras palabras, hay infinitos valores que no toma, y eso no es correcto para un polinomio decente, pues según Picard, a lo sumo podría no tomar un único valor.

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Metateorema: todo teorema de análisis complejo sobre propiedades de las funciones holomorfas implica el TFA.

Demostración: Ejercicio.

Hint: la parte difícil es encontrar todos los teoremas, la parte fácil es usarlo para demostrar el TFA

4 comentarios:

Marcos dijo...

Muy bueno.
¡Me mató el meta-teorema! :-)

JuanPablo dijo...

gracias, marcos! :-)

hjg dijo...

"... como f(z) es una función continua y positiva, que tiende a infinito cuando z tiende a infinito, obligatoriamente alcanza un mínimo r."

Ehmmm veo que es verdad por no sé muy bien de dónde se deduce.

"si alcanza un valor mínimo r mayor a 0, la imagen de P(z) cae fuera de la bola centrada en 0 y de radio r."

por "bola" a secas se entiende "bola abierta", no?

JuanPablo dijo...

Cierto, hay que hacer una cuentita en el medio: si |z| > R, el polinomio se porta como la mayor potencia z^n, porque los de menor orden son despreciables en comparación. Entonces, va a infinito si |z| va a infinito.

Ahora, f(0) vale algo, y si se elige R tal que f(z) > f(0) fuera de la bola de centro 0 y radio R, el mínimo se alcanza en esa bola (cerrada) porque f es continua en un compacto (la bola cerrada).

[Efectivamente, en la última frase estoy pensando en la bola abierta]