1502.- Algo no trivial

Ya que tenemos latex, demostremos el Teorema de Punto Fijo de Banach:

Teorema: Dado X un espacio métrico completo, d(x,y) la distancia entre x e y, una constante c menor que 1, y una función T que cumpla

d(Tx, Ty) \le c d(x,y)

existe un punto fijo de T en X⁽¹⁾.

* * *
La demostración es medio un quilombo, y el Teorema de Banach-Cacciopoli se sigue de sumar la cola de una serie⁽³⁾. Para los que la conozcan, observen esta idea de Palais (2007) que la acorta bastante:

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Como antes, se construye la sucesión x_i+1 = Txi = Tⁱx, para un x inicial arbitrario, y se muestra que es de Cauchy, pero usando este lema que depende de la desigualdad triangular:

d(x,y) \le d(x, Tx) + d(Tx,Ty) + d(Ty,y)

d(x,y) \le d(x, Tx) + c d(x,y) + d(Ty,y)

d(x,y) \le \frac{d(x, Tx) + d(Ty,y)}{1-c}

Con esto,

d(T^nx,T^mx) \le 
\frac{d(T^nx, T^{n+1}x) + d(T^mx,T^{m+1}x)}{1-K}

 \qquad \le 
\frac{c^n+ c^m}{1-K} d(x,Tx) 

y esto tiende a cero porque c es menor que 1.

(1) Si desplegamos un mapa de Buenos Aires⁽²⁾ en cualquier parte de Buenos Aires, habrá un punto del mapa que coincida exactamente su propia ubicación⁽³⁾.

(2) También funciona con otras ciudades y su mapa correspondiente, cosa'e Mandinga!

(3) En ciertos mapas, suele tener una flechita que dice "Ud. está aquí". Se recomienda no cambiar el mapa de lugar.

(4) En cambio, en el de Berlusconi⁽⁵⁾ se sigue sumando una serie de colas.

(5) En el quilombo, que Teorema no tiene.