1592.- Mala suerte - CdM VII

Otro Carnaval, y dejo una pseudo-paradoja que le debo a mi compañero de oficina (un grande!).

Supogamos que se me rompe el teléfono (o internet) y reclamo para que lo arreglen. El tiempo que tardan en arreglármelo es un cierto tiempo aleatorio T₀.

Como no se si ese tiempo es poco o mucho, empiezo a preguntarles a mis amigos cuánto tardaron en arreglarles a ellos el teléfono (o internet) y voy obteniendo una sucesión de tiempos T₁, T₂, T₃, T₄...

¿Cómo puedo saber si tengo mala suerte? Bueno: si tengo que preguntarle a miles de personas antes de encontrar a una que le hayan tardado más tiempo en el arreglo, eso podría ser una señal de mi mala suerte. Usando proba, calculo el valor esperado del número de consultas que debo hacer antes de encontrar a alguien así.

* * *

Para calcularlo, debo tener una variable aleatoria X, donde X=n si recién la n-esima persona me dice que le tardaron más que a mí.

Ahora, tenemos la probabilidad P(X > n)=1/(n+1), pues quiere decir que mi tiempo es peor que el de los primeros n,

T₀> max {T₁, T₂,..., T_n};
y como los n+1 tiempos tienen la misma distribución, puedo considerar que son equiprobables.

¿Cuánto es la probabilidad P(X = n)? Bueno, es la probabilidad de que sea mayor a n-1 pero no mayor a n:

P(X=n) = P(X>n-1) - P(X>n) = 1/n - 1/(n+1) = 1/n(n+1)

Ahora, para calcular la esperanza, debemos sumar la serie de término n.P(X=n) = 1/(n+1), que prácticamente es la serie armónica, y todos sabemos que diverge.

Efectivamente, parece que tengo mucha mala suerte: espero consultarle a infinitas personas antes de encontrar a una que le haya ido peor que a mi.

Mi colaboración para el Carnaval de Matemáticas, esta vez a cargo del Máquina de Turing.