22.10.10

1592.- Mala suerte - CdM VII

Otro Carnaval, y dejo una pseudo-paradoja que le debo a mi compañero de oficina (un grande!).

Supogamos que se me rompe el teléfono (o internet) y reclamo para que lo arreglen. El tiempo que tardan en arreglármelo es un cierto tiempo aleatorio T0.

Como no se si ese tiempo es poco o mucho, empiezo a preguntarles a mis amigos cuánto tardaron en arreglarles a ellos el teléfono (o internet) y voy obteniendo una sucesión de tiempos T1, T2, T3, T4...

¿Cómo puedo saber si tengo mala suerte? Bueno: si tengo que preguntarle a miles de personas antes de encontrar a una que le hayan tardado más tiempo en el arreglo, eso podría ser una señal de mi mala suerte. Usando proba, calculo el valor esperado del número de consultas que debo hacer antes de encontrar a alguien así.

* * *


Para calcularlo, debo tener una variable aleatoria X, donde X=n si recién la n-esima persona me dice que le tardaron más que a mí.

Ahora, tenemos la probabilidad P(X > n)=1/(n+1), pues quiere decir que mi tiempo es peor que el de los primeros n,

T0> max {T1, T2,..., Tn};

y como los n+1 tiempos tienen la misma distribución, puedo considerar que son equiprobables.

¿Cuánto es la probabilidad P(X = n)? Bueno, es la probabilidad de que sea mayor a n-1 pero no mayor a n:

P(X=n) = P(X>n-1) - P(X>n) = 1/n - 1/(n+1) = 1/n(n+1)


Ahora, para calcular la esperanza, debemos sumar la serie de término n.P(X=n) = 1/(n+1), que prácticamente es la serie armónica, y todos sabemos que diverge.

Efectivamente, parece que tengo mucha mala suerte: espero consultarle a infinitas personas antes de encontrar a una que le haya ido peor que a mi.

Mi colaboración para el Carnaval de Matemáticas, esta vez a cargo del Máquina de Turing.

6 comentarios:

Matias dijo...

Para mí es una buena noticia. Cuando pida que me arreglen el teléfono, te voy a consultar a vos primero.

hjg dijo...

Está bueno. La verdad es que a primera vista me pareció que debía haber algún error, pero está bien. El valor esperado es infinito nomás.
Pero claro que es la interpretación lo discutible.
Empezás a preguntar y resulta que (digamos) la tercera persona tiene un tiempo peor que el tuyo (X=3) ¿es un valor "alto" o "bajo"?
Alguno podría decir que es menor que el valor esperado, ergo es bajo (tuvimos suerte).
Algún otro podría decir que más del 83% de las veces uno debería obtener un valor menor que 3 (estamos por último cuartil), así que es un valor alto (mala suerte).
Lo paradójico acá no es sólo que los dos criterios difieran (caso común en distribuciones asimétricas) sino que el primero me llevaría concluir que siempre "tuve suerte".

JuanPablo dijo...

Matías, el segundo tiempo también es complicado. Igual, no te preocupés: si tenés el t.e. roto, no me vas a poder llamar...

Hernán, a eso le podemos responder con otra observación que me hizo Fava: si uno se para en el lugar del otro, resulta que es él el que tiene mala suerte... pero lamentablemente nadie se pone en el lugar del otro!

Pedro Terán dijo...

Con esto tienes para publicar por lo menos cinco años en filosofía de la ciencia. Lo digo sin mala idea pero en serio.

JuanPablo dijo...

pedro, no sería mala idea crear un "bourbaki" (?) que se dedique a esto, no?

Pedro Terán dijo...

Um... ¿a qué? :S