16.4.03


350.- LA CONJETURA DE POINCARE CONTRAATACA


Casi un año atrás, Adolfo Ramirez posteaba sobre la conjetura. Como bien señala, es difícil de entender si uno no está en 'la cosa'. Pero vamos a intentarlo...

Piensen en una ruta o en una calle de un kilómetro que siempre viene doblando para el mismo lado -por ejemplo, a la derecha, porque estamos en América-. Hay sólo dos posibilidades, o al finalizar el recorrido estamos en otro punto, o la ruta se cerró, y era una rotonda. No hay mas opciones. Esto dice en matemáticas que toda variedad diferencial de dimensión uno es homeomorfa a un intervalo o a un círculo, pero no prentendamos traducir eso.

Si pienso ahora en dimensión dos, la idea de 'doblar siempre a la derecha' es mas complicada, pero piensen en una pelota (futbol, o rugby): parados en un punto, todo parece curvarse hacia abajo. Ahora piensen en una dona (dije que piensen en una dona, no en Homero Simpson, si los distrae, piensen en el neumático de un auto). Ahora la curvatura cambia si nos paramos en la curva 'roja', o en la 'azul': en la azul, si estoy adentro, una dirección se curva para el otro lado cuando estoy en el hueco...

Ahora, pongan una bandita de goma rodeando la pelota: por ejemplo el Ecuador, lo van contrayendo y queda como un puntito en el polo norte. Pero si piensan ahora en la dona, no pueden: la azul queda enrollada en la superficie, y la roja se corre pero siempre está alrededor del hueco central. Esa es una diferencia seria entre las dos superficies y nos dicen que son distintas, no puedo transformar una en la otra a martillazos.



La conjetura de Poincaré dice que -ahora en dimensión 3- un cuerpo donde todas las banditas de goma que le ponga se pueden deformar a un punto (y que además tienen el mismo grupo de homología, pero no vamos a entrar en eso) entonces es un cuerpo que se puede deformar en una esfera. Para dimensiones mas grandes, (4, 5... n cualquiera), el resultado ya se conoce, pero falta(¿ba?) $n=3$.

El tema de deformar superficies no es para nada obvio, miren si no:



(Gracias Fan, Kathleen por las imágenes on line).