A fines del siglo XIX aparecieron las primeras construcciones de los números reales, vía el llamado método 'genético'. Casi todos aceptaban la premisa de Kronecker:
Dios hizo los naturales, el resto es obra del hombre.
Partiendo de 1, 2, 3,... se podían definir los demás. Se 'construyeron' el cero y los negativos vía la resta, y a las fracciones, se las formó con pares de enteros.
Pero quedaban los irracionales. Algunos eran fáciles de obtener: √2, p, e... pero se sabía que había muchos más, y no todos son tan fáciles de identificar. Dedekind, Cantor y Stolz dieron cada uno una construcción diferente de los números, todas bastante buenas y razonables.
Pero a principios del siglo XX, Peano no se creyó la intervención divina, y consideró necesario fundamentar la existencia de los números naturales: así aparecieron los llamados axiomas de Peano (en español aquí).
Hilbert -que fue quien llamó genético al método anterior- lo consideró útil como herramienta pedagógica, y más intuitivo, pero en gran medida redundante: ¿por qué no axiomatizar todo de una vez y para siempre? ¿Por qué empezar con los axiomas para los naturales y construir los demás después, si se puede axiomatizar de una los reales? (versión en español aquí).
Bertrand Russell se oponía a la superioridad del método axiomático sobre el genético, lo comparaba con las ventajas del robo frente al trabajo honrado: según él, en un minuto se obtenía todo lo que podía construirse partiendo de una base menor más el esfuerzo propio.
Olvidaba, Bertrand, el robo inicial: el que proporcionaba esa base menor desde la cual construirse un mejor futuro, una sólida posición.
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