3.7.07

1288.- Pasar al cociente (II)

La cosa deja de ser sencilla cuando además de operar con los elementos del cociente, uno quiere introducir alguna noción más rara: una distancia entre elementos (del cociente), una topología, una medida, obtener una nueva estructura, o uno quiere hacer geometría con los elementos del espacio que quedó... qué se yo, lo que se les ocurra: estén seguros que alguien ya lo pensó.

Los ejemplos no son tan sencillos ahora. El cociente de un espacio de Banach por un subespacio cerrado es también un Banach. El cociente de un anillo conmutativo con identidad por un ideal maximal es un cuerpo. Mejor cuento uno sencillo...

Agarremos el espacio 'ambiente', R3, y las infinitas rectas que pasan por el origen. Cada una interseca a la esfera unitaria (la cáscara de la bola centrada en cero de radio 1) exactamente en dos puntos, x y -x. Un primer cociente posible es asociar a cada semirrecta un punto de la bola, pero mejor es hacer ahora un segundo cociente, asociando x con -x: así, a cada recta por el origen le corresponde un único punto. Lo que nos queda es el espacio proyectivo P(R3).

¿Y por qué este repentino interés en los cocientes? Bueno... tema para el próximo post, que obviamente no es el mismo próximo post del post anterior.

1 comentario:

Julian dijo...

Ahora que finalmente nos la vamos a arreglar sin cocientar me siento mucho mas tranquilo :-)

Igualmente, la sombra del álgebra acecha!! Tomar categorías con respecto a grupos que no sea Z_2 es tenebroso!!!!!!!