30.1.08

1364.- El problema de Gauss (2)

Vamos a la relación del problema de Gauss con el problema de contar cuadraditos en el círculo. Para simplificar, supongamos que contamos sólo los cuadrados del 1er cuadrante.




Si pensamos que cada punto de coordenadas enteras (m,n) dentro del círculo es el vértice superior derecho de un cuadradito, por cada par de enteros tales que m2 + n2 es menor R, tenemos un cuadradito de áera 1, y podemos acotar el número de cuadraditos o pares (m,n) a lo bestia a la Gauss, diciendo que es menor que pi R/4, un cuarto del área del círculo.

¿Qué error cometemos? Siguiendo a Gauss, estimemos por debajo el área que cubren los cuadraditos. Si el vértice superior derecho de un cuadradito cayó fuera del círculo, el inferior izquierdo está como mucho a distancia \sqrt{2} del borde. Pensando un poquito en esto, llegamos a la conclusión de que toda el área dentro del círculo de radio \sqrt{R}-\sqrt{2} está cubierta con cuadraditos, y por lo tanto, es mayor a
pi R/4 - 2\sqrt{2}\sqrt{R}/4.

En definitiva, la cantidad de puntitos está ensanguchada entre pi R/4 - 2\sqrt{2}\sqrt{R}/4 y pi R/4. Mejorar la estimación es lo que se conoce como el problema del círculo de Gauss. Se sabe que el error no es R1/4, pero se cree que está arbitrariamente cerca (eso mas épsilon para cualquier épsilon). Por ahora, sólo se tienen valores cercanos a 1/3.

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Corregir los puntos que faltan es sencillo, se agregan 4[\sqrt{R}], parte entera de \sqrt{R} (y si uno agrega a lo bestia \sqrt{R}, el error es menor a 4, despreciable al lado del otro que depende de \sqrt{R}).

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Hernán hizo un razonamiento sobre el área que se perdía en cada cuadradito al ser intersecado por el borde del círculo y proponía que era menor o igual a un medio, y suponía que estaba uniformemente distribuida. Asi llegaba él a una estimación similar a la de Gauss.

La estimación no está nada mal, y de hecho es la correcta si uno cambia el círculo por otro conjunto convexo (ehh... sí, eso... dos puntos dentro del conjunto se conectan por un segmento que está dentro del conjunto): para un cuadrado, el error crece como \sqrt{R}: si pensamos en una recta horizontal (o vertical) que se mueve, va barriendo el área de un cuadradito, y en promedio deja 1/2 afuera.

Ahora, entre una recta (cero curvatura, perfectamente plana) y un círculo (perfectamente curvado) uno puede ir metiendo otras curvas, y el exponente depende de su curvatura, ahí es donde varía desde el 1/4 hasta el 1/2. Explicar el por qué de esto no es nada sencillo, así que no lo voy a hacer.

Pongo en los tags 'ecuaciones diferenciales', porque aunque no lo crean, tienen mucho que ver con todo esto.