25.8.09

1512.- Problem(it)a

Uno fácil: 20km de vía, un riel de 20001 m. ¿Cuánto se levantará si lo hacemos calzar 'a presión' entre los dos extremos de la vía?



(mentalmente, claro, y con tres o cuatro cifras significativas)

17 comentarios:

26 dijo...

aproximadamente 100 metros ?

JuanPablo dijo...

lo suyo es impecable, igual tiene un 1 (uno)!

Frenzo dijo...

muy bueno

JuanPablo dijo...

a mi siempre me impresionan estos problemas, por lo poco intuitivos que son

Severian dijo...

Aproximando el arco por dos triángulos me da 100m, ¿la pifio por mucho?...

Frenzo dijo...

Además de ser poco intuitivos, me sorprenden porque hacen recordar la diferencia entre matemática e ingeniería. Es decir, desde un punto de vista ingenieril la diferncia (0.0005%) es nada, pero matemáticamente te queda un arco de 100 m de altura. Tal vez sean tan contrarios a la intuición porque pensamos más como ingenieros que como matemáticos.

JuanPablo dijo...

casi nada, severian, menos del 1%.

A menos que quiera calcularse la catenaria, como corresponde!

JuanPablo dijo...

nunca había pensado en eso, frenzo, me parece que tenés razón.

Markelo dijo...

También es bastante antiintuitivo el ir variando las magnitudes.

si en lugar de 20001 tuvieramos una diferencia de 20000,10 uno esperaría un arco de 10 mts pero da más de 31 mts

y con 20000.01 da un arco de unos 10 mts

linda cuestión

Frenzo dijo...

Ahora me parece que el problema es la aprox de los triángulos (no es adecuada para este caso), y que la altura realmente es muy cercana a cero. Pensemos simplemente que si lo ponemos perpendiacularmente al exceso (formando una L), queda una altura de 1 m. Al curvar el riel la altura tiene que ser menor aun.

JuanPablo dijo...

mmm... me dejaste pensando en una demostración rara de Pitágoras, pero no logro armar la relación

JuanPablo dijo...

Frenzo, la forma que el riel toma es una catenaria dada vuelta. Hay que resolver la ecuación para una cadena de longitud 20001 m en un intervalo de longitud 20 km, y calcular cuánto baja el mínimo

Frenzo dijo...

Gracias, Juan Pablo. Por mi lado quise plantear unas ecuaciones más rigurosas, pero son de todos modos bastante tediosas. De todas formas es interesante que, aun no considerando que el hilo se curva, pueden aparecer cuestiones poco intuitivas cuando se mezclan dimensiones muy grandes y variaciones tan pequeñas. Son los problemas más lindos para los que somos simples aficianados a la matematica: los preblemas que parecen simples, que se entienden buen, pero que resolverlos bien-bien es todo un desafio.

hjg dijo...

Si tomamos la mitad del dibujo, ponemos que 1 es la (semi) longitud original y 1+x la longitud con exceso, tenemos que la altura máxima viene dada (para x<<1) por:

1) x si la doblamos en codo (obvio)

2) sqrt(2x) si la extendemos como un triángulo (de acá se ve porqué la cosa cambia en orden de magnitud)

3) si forma una catenaria... salvo error, me da sqrt(3/2 x) (un poco menos, aunque el mismo orden)

En todo caso, el resultado del triángulo es correcto en el orden, pero no "con tres o cuatro cifras significativas", caramba.

Frenzo dijo...

já! muy bueno!

hjg dijo...

... lo cual (la aproximación de primer orden a la catenaria) me da 86.60254 metros.
Si la resuelvo exacto (estamos seguros de que la catenaria es la forma correcta para este caso?) me da 86.60406

JuanPablo dijo...

Si no recuerdo mal, el propio Hooke lo dijo: la forma que toma un arco es la misma que la de una cadena colgante (y si lo dijo Hooke...)

quiero encontrar la ref exacta, pero la tengo por algún lado