Además de ser poco intuitivos, me sorprenden porque hacen recordar la diferencia entre matemática e ingeniería. Es decir, desde un punto de vista ingenieril la diferncia (0.0005%) es nada, pero matemáticamente te queda un arco de 100 m de altura. Tal vez sean tan contrarios a la intuición porque pensamos más como ingenieros que como matemáticos.
Ahora me parece que el problema es la aprox de los triángulos (no es adecuada para este caso), y que la altura realmente es muy cercana a cero. Pensemos simplemente que si lo ponemos perpendiacularmente al exceso (formando una L), queda una altura de 1 m. Al curvar el riel la altura tiene que ser menor aun.
Frenzo, la forma que el riel toma es una catenaria dada vuelta. Hay que resolver la ecuación para una cadena de longitud 20001 m en un intervalo de longitud 20 km, y calcular cuánto baja el mínimo
Gracias, Juan Pablo. Por mi lado quise plantear unas ecuaciones más rigurosas, pero son de todos modos bastante tediosas. De todas formas es interesante que, aun no considerando que el hilo se curva, pueden aparecer cuestiones poco intuitivas cuando se mezclan dimensiones muy grandes y variaciones tan pequeñas. Son los problemas más lindos para los que somos simples aficianados a la matematica: los preblemas que parecen simples, que se entienden buen, pero que resolverlos bien-bien es todo un desafio.
Si tomamos la mitad del dibujo, ponemos que 1 es la (semi) longitud original y 1+x la longitud con exceso, tenemos que la altura máxima viene dada (para x<<1) por:
1) x si la doblamos en codo (obvio)
2) sqrt(2x) si la extendemos como un triángulo (de acá se ve porqué la cosa cambia en orden de magnitud)
3) si forma una catenaria... salvo error, me da sqrt(3/2 x) (un poco menos, aunque el mismo orden)
En todo caso, el resultado del triángulo es correcto en el orden, pero no "con tres o cuatro cifras significativas", caramba.
... lo cual (la aproximación de primer orden a la catenaria) me da 86.60254 metros. Si la resuelvo exacto (estamos seguros de que la catenaria es la forma correcta para este caso?) me da 86.60406
17 comentarios:
aproximadamente 100 metros ?
lo suyo es impecable, igual tiene un 1 (uno)!
muy bueno
a mi siempre me impresionan estos problemas, por lo poco intuitivos que son
Aproximando el arco por dos triángulos me da 100m, ¿la pifio por mucho?...
Además de ser poco intuitivos, me sorprenden porque hacen recordar la diferencia entre matemática e ingeniería. Es decir, desde un punto de vista ingenieril la diferncia (0.0005%) es nada, pero matemáticamente te queda un arco de 100 m de altura. Tal vez sean tan contrarios a la intuición porque pensamos más como ingenieros que como matemáticos.
casi nada, severian, menos del 1%.
A menos que quiera calcularse la catenaria, como corresponde!
nunca había pensado en eso, frenzo, me parece que tenés razón.
También es bastante antiintuitivo el ir variando las magnitudes.
si en lugar de 20001 tuvieramos una diferencia de 20000,10 uno esperaría un arco de 10 mts pero da más de 31 mts
y con 20000.01 da un arco de unos 10 mts
linda cuestión
Ahora me parece que el problema es la aprox de los triángulos (no es adecuada para este caso), y que la altura realmente es muy cercana a cero. Pensemos simplemente que si lo ponemos perpendiacularmente al exceso (formando una L), queda una altura de 1 m. Al curvar el riel la altura tiene que ser menor aun.
mmm... me dejaste pensando en una demostración rara de Pitágoras, pero no logro armar la relación
Frenzo, la forma que el riel toma es una catenaria dada vuelta. Hay que resolver la ecuación para una cadena de longitud 20001 m en un intervalo de longitud 20 km, y calcular cuánto baja el mínimo
Gracias, Juan Pablo. Por mi lado quise plantear unas ecuaciones más rigurosas, pero son de todos modos bastante tediosas. De todas formas es interesante que, aun no considerando que el hilo se curva, pueden aparecer cuestiones poco intuitivas cuando se mezclan dimensiones muy grandes y variaciones tan pequeñas. Son los problemas más lindos para los que somos simples aficianados a la matematica: los preblemas que parecen simples, que se entienden buen, pero que resolverlos bien-bien es todo un desafio.
Si tomamos la mitad del dibujo, ponemos que 1 es la (semi) longitud original y 1+x la longitud con exceso, tenemos que la altura máxima viene dada (para x<<1) por:
1) x si la doblamos en codo (obvio)
2) sqrt(2x) si la extendemos como un triángulo (de acá se ve porqué la cosa cambia en orden de magnitud)
3) si forma una catenaria... salvo error, me da sqrt(3/2 x) (un poco menos, aunque el mismo orden)
En todo caso, el resultado del triángulo es correcto en el orden, pero no "con tres o cuatro cifras significativas", caramba.
já! muy bueno!
... lo cual (la aproximación de primer orden a la catenaria) me da 86.60254 metros.
Si la resuelvo exacto (estamos seguros de que la catenaria es la forma correcta para este caso?) me da 86.60406
Si no recuerdo mal, el propio Hooke lo dijo: la forma que toma un arco es la misma que la de una cadena colgante (y si lo dijo Hooke...)
quiero encontrar la ref exacta, pero la tengo por algún lado
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