1569.- Carnaval IV - Problem(it)a

Imaginen dos barcos de guerra, enemigos, buscándose en el océano. Imaginen que uno de los capitanes (digamos, Xérez) tiene un espía en un puerto neutral, y le pagará 1 dolar por cada dato útil que reciba sobre el otro barco.

Imaginen, ahora, que el otro capitán (sea Yérez) se comunica con un espía que tiene en el mismo puerto y le dice:

-Te pago 1 dolar por cada dato útil que tengas sobre el otro barco. Es urgente, porque tengo el radar roto.

Imaginen, por último, que Xérez y Yérez, sin saberlo, confiaron en el mismo espía.

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¿Cuánto es el máximo que puede ganar el espía con estos capitanes?

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Imaginen la situación durante un minuto, el primer minuto de Everybody Knows, de Leonard Cohen, si quieren. Tal vez les sugiera la respuesta.




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No es difícil imaginar cómo actuará el espía para hacer fortuna:

Le avisa a Xérez que el radar de Yérez no funciona.

y luego

Le avisa a Yérez que Xérez sabe que el radar de Yérez no funciona.

y luego

Le avisa a Xérez que Yérez sabe que Xérez sabe que el radar de Yérez no funciona.

y luego...

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La idea detrás de este problem(it)a es la de conocimiento común, una genialidad de Robert Aumann en los '70, y una de las razones por las cuales le dieron el Nobel.

De hecho, el conocimiento común es clave para su teorema conocido como "agreeing to disagree":

Si dos personas tienen la misma distribución de probabilidad a priori, y las consecuencias de un evento A son conocimiento común, tendrán la misma distribución de probabilidad a posteriori.

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En fayerwayer posteaban el año pasado diez preguntas para trabajar en Google, y la segunda es un problema basado en la idea de conocimiento común. Cambiando 100 por cualquier otro número, se ve que no alcanza con k iteraciones en el "sabe que sabe que sabe...".

El problema inicial es de S Ambroszkiewicz.

Este post va de cabeza a la 4ta edición del Carnaval Matemático, ahora en manos de Zurditorium.