3.10.07

1324.- En el que trata de la invisibilidad de lo casi inmovil, o el teorema de la funcion inversa

Teorema trivial el de la función inversa...
(f-1)' = 1/f'

¿Qué...? ¿el "-1" no quiere decir dar vuelta la fracción? Ah... claro! hay que derivar por el cociente, no? te queda...
(f-1)' = (1/f)' = f'/f2


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No, el TFI se parece mucho a (f-1)' = 1/f', pero ambos lados están evaluados en puntos distintos, f: X --> Y, f-1: Y --> X. Esa es la parte más hinchapelotas del teorema, por una perversión que a la hora de calcular inversas, nos piden que después de despejar la x en función de la y, le cambiemos los nombres (vía ese paso de magia, la inversa también va de X en Y...).

Bue, tecnici(ni)smos aparte, el teorema está bueno. Si f(x) = x2, la inversa f-1 es la raíz de y. ¿Y cómo se deriva la inversa?

-Derivamos la f, que nos da f'(x)=2x.

-Hacemos 1/f'(x) = 1/(2x)

-Ojo: no evaluamos en x, sino en la inversa, es decir, queda 1/(2 √ y).

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Un ejemplo mejor es derivar la arcotangente, [arctg(x)' = 1/(1+x2)], pero mucho mejor es la siguiente aplicación: hay un pescadito que ve a su predador a una distancia x, y lo ve de un tamaño S (hagan un dibujo, un triángulo isósceles saliendo del ojo de la presa, de ángulo a, y base S (tamaño del predador).

Cuando el predador se mueve, el ángulo se modifica: si se aleja, se achica; si se mueve poco, no cambia mucho; si se acerca, el ángulo se agranda, y si se acerca muy rápido, hay que abrir grande el ojo para seguir viéndolo...

Eso es lo que hace la zebra danio (Brachydanio rerio... qué se fumó el que le puso el nombre?). Tiene su respuesta al peligro como un valor crítico de la velocidad a la que crece el ángulo a que mencionábamos: si la derivada del ángulo crece más rápido que ciero umbral k, sale rajando.

Y ahí viene el quilombo, porque hay que calcular la derivada de la función que nos da el ángulo cuando x varía como vt (v es la velocidad a la que se acerca la presa, t el tiempo).

Ni en pedo lo hago acá (hay que usar la regla de la cadena, también), pero les dejo el resultado. Si
4 S v / (S2+4x2) > k

la zebra danio sale nadando que ni se le ven las rayitas del lomo.

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Un tal Lawrence Dill se avivó de esto en la década del '70. Googleando van a encontrar su página, otros papers en ese estilo, la cuenta bien detallada, etc.

Pero nos falta la invisibilidad de lo casi inmóvil.

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Si despejamos x en la ecuación anterior, nos queda que la distancia de reacción es

x2 < (v/k - S/4)S


Pero en esta ecuación, si la velocidad v a la que se acerca el predador es suficientemente baja, el lado derecho es negativo, así que ningún x (que está al cuadrado) puede ser una distancia de reacción.

Y zebra danio que no reacciona es almuerzo del predador.

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La invisibilidad de lo casi inmóvil, para pseudópodo.

4 comentarios:

Melisa dijo...

Disfruté con fruición su blog.

Matias dijo...

Yo también lo disfruté con fruición! Y despacito. Lástima que, de tan lento, el final llegó sin que lo viera :-S

JuanPablo dijo...

gracias, melisa!

matías, es como estacionar con grupos de lie, si sólo te podés mover épsilon

pseudópodo dijo...

Ajá, comprendido. Un bonito ejemplo de las dos cosas (función inversa e invisibilidad de lo inmóvil). Y las cuentas salen ;-)