1608.- When Euler met L Hopital - CdM

Un capo, Euler. Estoy leyendo el paper con el mismo título que el post, y encuentro una forma de sumar las potencias de los primeros N números naturales casi sin despeinarse:

-Hay que armar la suma de las potencias de x de 0 a N, sumarlas, y derivar de los dos lados:

-Evaluando en 1, ya estamos, pero el lado derecho es indeterminado... L'Hopital!

* * *

-¿Que quiere sumar los cuadrados, me dice? Bueno, multiplique de los dos lados por x,

derive otra vez, y evalúe en 1 (a la izquierda, y L'Hopital again a la derecha).

* * *

-¿Que quiere sumar los cub...? Ah, ¿ya entendió?

Vió, más simple, imposible.

* * *

Vaya el post al Carnaval, este mes se encarga Juan

1607.- Fibonacci y los conejos pájaros - CdM

Corto de tiempo, elijo postear un clásico: el problema de Fibonacci sobre los pájaros:

Un hombre compró perdices, palomas y passeridaes, 30 aves por 30 denarios. Una perdiz cuesta 3 denarios, una paloma 2, y un passeridae 1/2. ¿Cuántos compró de cada clase?



Passeridae, más conocido como gorrión.


* * *

A primera vista, parece fácil de resolver, aunque si uno prestó atención, verá que sólo hay dos ecuaciones para tres datos.

Eso puede ser un problema. ¿Por qué no prueba hacerlo antes de seguir leyendo?

* * *

El truco, para la ecuación que falta, es que tenemos también tres inecuaciones (las cantidades de...) P₁ (perdiz), P₂ (paloma) y P₃ (passeridae) son mayores a cero.

Y eso alcanza, junto a una simple congruencia, para resolver el problema:

P₁ + P₂ + P₃ = 30

6P₁ + 4P₂ + P₃ = 60

Si a la segunda le restamos la primera, nos queda:

5P₁ + 3P₂ = 30

con lo cual 3 debe dividir a P₁, y 5 a P₂.

No hay mucho que revisar, enseguida aparece la única solución posible.

Para el Carnaval, esta vez vía Gaussianos

1606.- Asi anda el mundo

En Japón al Sudoku lo llaman Number Place Puzzle.

1605.- Terremoto de Nueva Zelanda

1604.- Otra vez ahi arriba

Esta vez, segundos. Igual, es un reordenamiento de los mismos trabajos de siempre...

(vía morfismo)

1603.- Por qué no los vemos? - CdM XI

Por tercera vez en los últimos cinco años (cuarta, si cuento otra universidad) me toca dar un curso de probabilidades y estadísticas. Así que es hora de buscarme nuevas historias para contar (el público siempre se renueva... al menos en la mayor parte, pero soy yo el que comienzo a aburrirme).

* * *

Abraham Wald era austro-húngaro (estrictamente, rumano). Un dato menor, sobre alguien conocido por sus trabajos en estadística, pero otro de la larga lista de científicos de primer nivel que estaban activos durante la segunda guerra mundial trabajando para los yanquis.

Por ejemplo, von Neumann, von Karman, Wigner, Teller, Szilard... todos ellos húngaros, podrían haber desarrollado la bomba en Europa, y hoy otra sería la historia del mundo.

Cuentan que cierto día, hablando en Los Alamos durante un almuerzo sobre la existencia o no de extraterrestres, todos coincidían en que debía haberlos. Fermi había hecho rápidamente uno de sus famosos cálculos, conocidos hoy como problemas de Fermi (¿cuántos pianistas hay en California?), y veía que el resultado chocaba con los datos observacionales. Y formuló su paradoja:

Si la probabilidad de que los haya es tan alta, ¿por qué no los vemos?

Se dice, también, que Leo Szilard estaba presente y respondió:

Ya están entre nosotros, y se llaman húngaros!

* * *

Es difícil preguntarse -y más, responder honestamente- sobre lo que no vemos. Hace poco leía una discusión en uno de los blogs que sigo, y era clarísimo cuánto cambiarían las posturas -y sobre todo, los argumentos absurdos- si se hubiese preguntado por la existencia de extraterrestres.

Pero no siempre es fácil abstraerse de las ideas preconcebidas que tenemos, y tendemos a pensar que lo que no se observa, no existe. Pensar con claridad es difícil cuanto más visceral es el tema, y tal vez por eso fue alguien de afuera quien miró correctamente una imagen como la siguiente:



Wald estaba en Columbia, y les cayó como problema analizar el efecto de los impactos en los aviones militares, ya sea para cambiar las tácticas de combate, o para reforzar partes del fuselaje. El MacTutor dice sólo "He used his statistical expertise to develop a method to estimate aircraft vulnerability". Si alguien se quiere bancar las cuentas, un análisis sobre su trabajo puede verse en el JASA (los que no tengan acceso, lo pueden bajar de la página de uno de los autores). También están las casi 100 páginas del original, dando vueltas vía la wikipedia.

La imagen anterior es de Cameron Moll, Wald recibió tablas de datos, y en su trabajo se ve claramente cómo dividió el avión en sectores y contó los impactos que se observaban en los que volvían de distintas misiones.

La propuesta de Wald, brevemente, fue proteger más las áreas menos golpeadas... lo cual puede parecer absurdo, pero no lo es. Su razonamiento era lógico:
Lo que no vemos, justamente, puede ser lo más importante.

* * *

Los aviones analizados eran los que volvían, pero suponiendo que los impactos se distribuían por igual, eso indicaba que no volvían los aviones que recibían los disparos en las zonas que quedaban con menos marcas.

Las objeciones sobre su suposición son vacías: en la época, sin radares ni métodos de precisión para disparar, con vuelos nocturnos y disparos a ciegas desde las defensas en tierra (basados más en barreras de fuego que en apuntarle a los objetivos), uno esperaría una distribución uniforme de los disparos.

Estadísticamente, se estaba metiendo con los llamados datos censurados, afectados en este caso por el -muy literal- survivor bias.

No era el primero, claro: Daniel Bernoulli, doscientos años antes, había incursionado en el tema. Pero esa es ya otra historia.


Post para la Edición 2.1 del Carnaval, esta vez en el blog de su fundador: Tito Eliatron

1602.- 0.1361015212836455566789110512013615...

De todos los títulos de libros que incluyen números, sin dudas este es el más extraño.
Revisen el texto en Amazon, que hay más números todavía.

Estoy considerando seriamente comprarlo, total el responsable del subsidio es otro...

1601.- Computador o asesino serial (xor)

A ver si mejoran mi marca (5-5), acá esta el test.

1600.- Demasiados posts

2.2.2.5 al cuadrado...! Cuando empecé, no creía que fuera a llegar al 100, ni hablar de 500, menos el 1000. Pero olvidaba que tengo una gran capacidad, innata, para producir basura.

Soy de leerme blogs ajenos desde el principio hasta el fin, comments incluídos, y me doy cuenta que el cociente {post rescatables}/{número de posts} en mi caso tiende a cero.

* * *

Muy distinta es la situación con otros blogs que disfruté (re)leyendo post a post desde el primero que publicaron. Asinorum y Pseudópodo son dos en los que no encontré ni medio post de más. Korochi y Juegos de Ingenio son otros que se pueden releer una y otra vez. Not Even Wrong tiene también un valor altísimo, junto con los de Hernán (Fotos... y Esperando...). No es que encuentre basura descartable en ellos, sólo que algunos posts de Hernán forman parte de su diálogo íntimo con sus escritores favoritos sin que uno tenga todo el background, y otros de Woit son muy locales (localizados en tiempo o espacio, según el caso).

A muchos blogs los seguí desde que arrancaron, a lo sumo tuve que buscar sus primeros meses hasta que los descubrí. Así, no he releído varios de los que están ahí en los links de la derecha¹; en especial, los que se dedican a la divulgación seria.

Sin embargo, el año pasado me leí de principio a fin unos diez blogs de Teoría de Juegos. Empecé como trabajo, tomando notas de ejercicios, comentarios, conceptos 'raros', demostraciones,... y terminé disfrutando del todo. Siempre había algún post descartable (avisos de conferencias, noticias, por ejemplo), pero me permitió seguir uno de los mejores blogs que he visto, el de Lipton: una estructura impecable para c.t.p.²: presentación - anécdota (de primera mano casi siempre) - teorema - problema abierto. Otros dos que planeo reeler en el futuro dentro de éstos son The Leisure of the Theory Class, y el de Nisan (agtb).

* * *

En este momento estoy por empezar a leer otros dos (o tres). Seguro iré posteando algunas cosas que encuentre.


(1) los links han fluctuado tanto, que éste bien es un ejemplo de futura frase descartable como basura; en medio de otro post descartable.

(2) c.t.p. = casi todo post.

1599.- La distancia al jugador

De lejos no se ve bien, coincidirán. Y tal vez eso haga que a los jugadores de fútbol los aprecien mejor los que más cerca están. Miren si no la siguiente tabla de los votos al Balón de Oro, que preparó ensilicio



Todo bien con el holandés, pero sólo el peor exitismo puede justificar que lo votaran tanto (y que quedara 4to Messi!). Todas las tablas de quién votó a quién, y cómo, están en un pdf de la Fifa, aquí.

Ah, una rareza: la votación se hace con una variante del método de Borda. Cada votante elige tres jugadores y los ordena, el 1ro recibe 5 puntos, el 2do 3, y el último 1; y gana el que suma más.

1598.- Carnavales varios

Parece que este año se suma un Carnaval en el que no voy a participar, que ya llegué tarde y fue ayer: el Carnaval de la Química, materia que nunca me gustó mucho. Por eso no puedo dar fe de los nombres técnicos que figuran ahí, sólo de los nombres populares...



lo vi en malayerba, entre muchas otras cosas interesantes

1597.- Loterias, seguros, alarmas y mantenimiento - CdM X

No pensaba postear este Carnaval (que por acá son vacaciones!) pero me decidió la cantidad de posts que vi el mes pasado sobre las loterías, y el tema se multiplicó en las redes, comentarios, linkeos, buzzeos.... Algunos llegaron a ser ofensivos: que el juego es el impuesto al idiota, que es para los imbéciles... llegando a perder de vista que deberíamos, si pretendemos hacer alguna clase de divulgación, tratarlo lo más científicamente posible. Gaussianos fue la excepción: ni él ni sus comentaristas agregan estos juicios de valor, y se limitan a las cuentas puras y duras.

Lo más triste es que esta misma gente que dice lo que dice no tiene reparos en asegurar su automóvil, ponerle alarmas de robo, revisarlo con un mecánico antes de un viaje, contratar coberturas médicas o hacerse chequeos...; y hasta se ofenderían si se los trata de idiotas por esto. Pero las motivaciones atrás de unas y otras conductas son las mismas, así que nones: somos todos una manga de boludos.

Bien, así que vamos entonces a defender, no el juego ni mucho menos al jugador patológico, sino a la conducta completamente racional de jugarse un numerito de vez en cuando, o un billete una vez al año a la lotería.

* * *

Un concepto clave para acercarse al tema es la utilidad esperada: se supone que uno analiza los valores esperados de las decisiones que estamos por tomar, y elige la de mayor esperanza en el sentido probabilístico.

Otro, es que nuestra función de utilidad (resumiendo, mide el valor que le damos a una cantidad de dinero), no debería ser lineal, sino cóncava, como raíz de x o el logaritmo: deberíamos valorar más que nuestro capital aumente 1 peso cuando tenemos poco que cuando tenemos mucho.

Y eso nos tira de cabeza en la aversión al riesgo: con una utilidad cóncava, valoramos más un peso que apostarlo a una lotería cuya esperanza de pago también es un peso... ni hablar entonces de jugar si el pago es menor, como bien calcularon Gaussianos o Tito!

Si tomamos estas tres cosas como axiomas inamovibles, usual en la teoría de juegos, no deberíamos jamás apostar a menos que la esperanza matemática sea positiva.

* * *

Pero. Porque la cosa tiene su pero.

Para empezar, esto aplicado al hombre común asume que sabe proba y que puede hacer todas las cuentas... una suposición fallida por donde se la mire. Y no es cuestión de llamarle tarado al ignorante, que ahí ya hay un error, cometido desde la soberbia del que sabe.

Por otra parte, asumimos que sólo la cuestión monetaria afecta la función de utilidad y que sólo juega para maximizar su riqueza: que no está comprando el boleto por tradición, o con unos amigos o compañeros de oficina como parte de una camaradería que aún perdiendo se fortalece, o que la esperanza (no la matemática, la de ganar) tampoco vale nada. Y al llamarlo idiota por eso ya hay otro error, despreciar el valor de lo humano, cometido desde la pedantería de creerse tan frío como las matemáticas que uno sabe.

Y por último, creer que la utilidad la elegimos racionalmente nosotros, y que decidimos si es cóncava o convexa a voluntad, y no algo intrínseco a nuestra naturaleza, que difícilmente cambiemos por mucha matemática que aprendamos. Y ahí también ya hay otro error, porque ya estamos hablando de algo que no entendemos del todo, y se relaciona con la diversidad de nuestros gustos, un error que se comete desde la ilusión de que todo es medible con una única escala de valores posible, algo que debería detectarse como falso por poca matemática que se sepa.

* * *

Y mientras voy empezando, ya terminé, así que dejo para una segunda parte el resto: la relación con los seguros y las alarmas y el mantenimiento.

Me voy a hacer una quiniela y sigo tipeando.

1596.- El instante en que el caos se convierte en calma

Siempre quise comprender por qué un hombre inculto como Gengis Khan a la cabeza de sus guerreros fue capaz de vencer a las sofisticadas organizaciones militares y naciones prominentes muy alejadas de las estepas de Mongolia y crear un imperio jamás visto. ¿Cuál era su arma infalible? Creo que tengo la respuesta

-¿Cual es?

-Sus largas flechas. El modo en que el jinete se fundía con su caballo. La capaciad de encontrar el instante maravilloso en que la flecha lanzada tenía más probabilidades de dar en el blanco aunque el caballo galopase a gran velocidad. Al igual que todas las respuestas importantes, era sencilla. A veces me sonrojo al pensar que me llevase tanto tiempo encontrar la soluicón. Los jinetes aprendían a disparar sus flechas cuando los cuatro cascos del caballo estaban en el aire. Entonces, por un instante brevísimo, se creaba un equilibrio perfecto: el jinete que lanzase entonces su flecha estaba seguro de acertar. Gengis Khan no contaba con hordas devastadoras ni lo dominaba una insaciable sed de sangre. Contaba, sobre todo, con un conocimiento perfecto del instante en el que el caos se convertía en calma.

(Mankell, en El cerebro de Kennedy. Feliz año para todos, y en especial a Milhaud que Recuerdos de Pandora cumple un año!)

1595.- Problem(it)a: encuesta paradójica - CdM IX

[si no fuera por el Carnaval, no se si estos últimos meses hubiese posteado algo... Por cuestiones de tiempo, el blog entró en una lenta agonía pero no encuentro la forma menos dolorosa de sacrificarlo, veré qué pasa el año próximo.]

El siguiente problem(it)a, cuyo origen prefiero esconder así uno lo medita un rato, mezcla resultados de la teoría de la medida con otros de la teoría de elecciones (como el de Arrow al que hacía referencia en el post anterior).

Supongamos que N personas están formados en una fila para votar por Xérez o Yérez, ganará el que saque más votos, y varios encuestadores se acercan a preguntarles por su intención de voto.

Ahora:

i.- cada encuestador consulta un "segmento" de personas: elige una, y le va preguntando consecutivamente a todas hasta que para en alguna otra; distintos encuestadores se pueden "superponer" y preguntarle a las mismas personas.

ii.- todas son encuestadas al menos una vez, y dicen la verdad.

Supongamos que los encuestadores se juntan y comparan sus porcentajes de votos (pero no revelan a quiénes les preguntaron):

1.- Si cada encuestador obtuvo que el candidato Xérez saca más de la mitad de los votos de las personas que encuestó, ¿alcanza para afirmar que gana Xérez?

2.- ¿Cuál es el porcentaje mínimo que debería tener Xérez en cada encuesta para poder afirmar que gana?

* * *

Bien: 1 es fácil, 2 no tanto. No hago comentarios para no revelar la solución.

Para el Carnaval, esta vez en la trébede.

1594.- El lado oscuro de las matematicas - CdM VIII

Si ayer no me iniciaron juicio académico para echarme de la universidad, tuve mucha suerte. Y es que en la clase demostré tres resultaditos pesados:

Demostré que con el matrimonio gay pueden no formarse parejas estables.

Dí un algoritmo (machista) para conseguir pareja.

Probé que la única consitución -o sistema electoral- justo es la dictadura.

Bienvenidos al lado oscuro de las matemáticas...

* * *

Los dos primeros items se pueden ver en el clásico paper de Gale y Shapley, College Admissions and the Stability of Marriage, American Mathematical Monthly 69, 9-14, 1962 (de algunos links se puede bajar gratis).

El algoritmo resuelve el problema de los matrimonios estables: dados dos conjuntos, de Varones y Mujeres (de igual cardinal, pero no es problema), donde cada varón tiene una lista de las mujeres ordenadas según a cuál prefiere más (y cada mujer tiene una lista con los varones), existe una biyección tal que no queden v y m que prefieran estar en pareja entre sí antes que con sus respectivos compañeros. Una situación así llevaría a divorciar la pareja y por eso la asignación no sería estable.

Hay una variante maquiavélica, donde algunos de los V pueden mentir, no revelando sus preferencias verdaderas. Si hay un solo mentiroso, le va peor, pero si son varios, puede ser que algunos mejoren y el resto no quede peor!

* * *

Con el matrimonio gay, el problema se conoce como el roommate problem, pero no hay caso: puede no existir ninguna asignación estable. El mejor ejemplo se tiene con cuatro participantes a, b, c, y d y sus preferencias son las siguientes:

a los ordena: b > c > d

b los ordena: c > a > d

c los ordena: a > b > d

d los ordena: a > b > c

Armen dos parejas cualesquiera, y verán que el resultado no es estable. Por ejemplo, si agrupamos (a, d) y (b, c), tenemos que c preferiría estar con a antes que con su actual pareja b; y a preferiría estar con c antes que con su actual pareja d. Luego, tienden a divorciarse y formar la pareja (a,c)

Pero esta también tiene el mismo problema, como pueden verificar muy rápido.

* * *

Finalmente, el último resultado es el nunca bien ponderado Teorema de Arrow. La demostración que dí es prácticamente la de Geanakoplos (con ligeros cambios, se puede ver en la Wikipedia).

Como se dijo en 1972, cuando le dieron el Nobel:

En su tesis doctoral, publicada en 1951, Arrow planteó la siguiente cuestión. Supongamos que en una sociedad uno tiene un número de alternativas entre las que elegir, y que cada individuo de la sociedad ordena las alternativas en el orden que las prefiere. ¿Es posible, en ese caso, hallar una regla democrática y éticamente aceptable que produzca un ranking colectivo (o social) de las distintas alternativas? Arrow mostró que la respuesta es negativa. En principio, es imposible hallar una regla semejante.

Existen distintas extensiones de este teorema, entre ellas la de Nakamura, o la más impactante de Gibbard y Satterthwaite: ni siquiera se puede elegir un único ganador, entre los distintos candidatos, a menos que:

haya un dictador;

haya un candidato proscripto;

se puede votar tácticamente para perjudicar candidatos.

Según cómo siga la semana, tal vez demuestre aquí el Teorema de Arrow, pero tengo que resolver cómo hacer dibujitos, que con un par la demostración queda más clara.

Mi colaboración para el Carnaval de Matemáticas, esta vez a cargo de Los Matemáticos no son gente seria.

1593.- Casi un mes sin postear...

...qué lo parió!

* * *

Y no es que no pasen cosas: parece que el Editorial Board del Journal of Group Theory renunció en masa.

La noticia la dio hace unos días SymOmega, el día anterior uno de los editores lo había anunciado en un foro. Otro de los editores no ha dicho nada en su blog.

* * *

Otra noticia interesante es el paper del CSIC retirado, info que le debo a married.

* * *

En la misma línea, el paper que señalábamos hace unos días también fue retirado de circulación por la revista.

* * *

Así andan las cosas, qué le vamos a hacer. Pero no todo es culpa de autores o editores... Sin ir más lejos, el fin de semana lo pasé en cama, con bastate fiebre (una gripe desagradable), y se nota que estaba con las defensas bajas, porque acepté referear tres artículos... Por suerte me frené y no escribí los referatos en el momento, que bastante masl hubieran salido.

1592.- Mala suerte - CdM VII

Otro Carnaval, y dejo una pseudo-paradoja que le debo a mi compañero de oficina (un grande!).

Supogamos que se me rompe el teléfono (o internet) y reclamo para que lo arreglen. El tiempo que tardan en arreglármelo es un cierto tiempo aleatorio T₀.

Como no se si ese tiempo es poco o mucho, empiezo a preguntarles a mis amigos cuánto tardaron en arreglarles a ellos el teléfono (o internet) y voy obteniendo una sucesión de tiempos T₁, T₂, T₃, T₄...

¿Cómo puedo saber si tengo mala suerte? Bueno: si tengo que preguntarle a miles de personas antes de encontrar a una que le hayan tardado más tiempo en el arreglo, eso podría ser una señal de mi mala suerte. Usando proba, calculo el valor esperado del número de consultas que debo hacer antes de encontrar a alguien así.

* * *

Para calcularlo, debo tener una variable aleatoria X, donde X=n si recién la n-esima persona me dice que le tardaron más que a mí.

Ahora, tenemos la probabilidad P(X > n)=1/(n+1), pues quiere decir que mi tiempo es peor que el de los primeros n,

T₀> max {T₁, T₂,..., T_n};
y como los n+1 tiempos tienen la misma distribución, puedo considerar que son equiprobables.

¿Cuánto es la probabilidad P(X = n)? Bueno, es la probabilidad de que sea mayor a n-1 pero no mayor a n:

P(X=n) = P(X>n-1) - P(X>n) = 1/n - 1/(n+1) = 1/n(n+1)

Ahora, para calcular la esperanza, debemos sumar la serie de término n.P(X=n) = 1/(n+1), que prácticamente es la serie armónica, y todos sabemos que diverge.

Efectivamente, parece que tengo mucha mala suerte: espero consultarle a infinitas personas antes de encontrar a una que le haya ido peor que a mi.

Mi colaboración para el Carnaval de Matemáticas, esta vez a cargo del Máquina de Turing.

1591.- Francia y las ecuaciones diferenciales

Sigo con el libro del post anterior. Es durísimo matemáticamente hablando, pero cada vez que menciona a alguien, agrega una nota al pie y lo describe en pocas líneas. A veces, cuando explica alguna situación, también incluye una nota sobre las razones por las cuales se estudia tal o cual cosa.

En cierto momento, hablando sobre la Ecole Polytechnique, comenta que pertenecía al ámbito militar, y tras graduarse, tenían un contrato por tres años (dos de los cuales se dedicaban a la investigación). Cuando él se recibe, De Gaulle cambia las reglas, y hace un tercer año estudiando análisis numérico con Lions.

El cambio de De Gaulle incentiva la investigación en distintas ramas de la ciencia, matemáticas entre ellas, porque

...eligió la disuasión nuclear como defensa para Francia, y en consecuencia, retiró a Francia de la OTAN; tal vez fuera al revés, quería sacar a Francia de la OTAN, con lo cual debería pelear sola en caso de un ataque desde el este, y de ahí el desarrollo de una fuerza nuclear de disuasión. Como sea, cuando la OTAN llevó sus bases de Francia a Bélgica, dejó varios edificios vacíos en Rocquencourt (cerca de Versailles), utilizados por el IRIA, y en Paris, utilizados por la Universidad Paris IX Dauphine.

1590.- Charla de Juegos

El lunes 18, a las 15 hs hay una charla de Teoría de Juegos, aula 11 del Pabellón II (paradojicamente, el II es el 1ro de los pabellones grandes), Ciudad Universitaria, Bs. As., Arg.

Se supone que está dirigida a alumnos y docentes del secundario y/o público general, así que debería entenderse. Debería, vaya uno a saber qué hará el irresponsable a cargo de darla.

¿De qué hablará? Hasta donde sé, NO va a hablar del dilema del prisionero (porque es lo primero que manotea cualquier imbécil, aunque no sepa de qué se trata; siempre se intenta versear desde la falsa lógica con ese tema sin mirar los números con cuidado). Posiblemente sean aplicaciones sociales:

Regímenes legales de tránsito: cómo afecta al manejo el tipo de leyes sobre responsabilidad civil. Por ejemplo: si el automovilista siempre tiene la culpa, ¿significa que manejará con más cuidado?

(se supone que ahí va a explicar las matrices de pago, para el auto y el peatón, cómo eliminar estrategias dominadas)

Aparición de normas y convenciones: ¿conviene circular por la izquierda o por la derecha de una ruta?

(esto sirve para introducir el eq. de Nash; por lo menos en teoría)

Paradoja de Braess: aumentando nuestras opciones para circular, el viaje puede resultar más lento!

(similitud con la tragedia de los bienes comunes, la ventaja es que la matemática necesaria para explicarla es más simple: en vez de maximizar una función, alcanza con sumar números)

Si quedara tiempo (o si surgiera la pregunta), un tema interesante pero desconectado de lo anterior es el

Alfa-Beta Pruning: el algoritmo que usan las computadoras para jugar al ajedrez.

En general, dado que hay muchas opciones, y no se ven las consecuencias inmediatas de las acciones, uno debe explorar el árbol de opciones hasta cierta profundidad, y elegir el futuro que parece más promisorio. Esto es jugar medianamente 'a ciegas', y el costo de evaluar el árbol se reduce extraordinariamente con este algoritmo: uno logra duplicar la profundidad de análisis, al costo de no mirar todas las opciones.

1589.- Palo y Palo

Los dos primeros capítulos de "The General Theory of Homogenization, A Personalized Introduction" reparten palos a diestra y siniestra. Vaya un ejemplo:

Mi nuevo punto de vista tiene la ventaja de evitar el uso de probabilidades. He comprendido que, la mayoría de las veces, la suposición de que existen factores aleatorios es una forma de esconder que uno no entiende mucho sobre la cuestión que está estudiando. A menos que uno agregue una frase que diga "por el momento, dado que hay algunas cosas que no entendemos, debemos utilizar probabilidades", y que señale "es posible también que trabajemos con ecuaciones que no son lo suficientemente buenas para describir los fenómenos que queremos estudiar", uno tiende a adeherir al punto de vista de que no es posible hallar las leyes que sigue la naturaleza, lo cual es una posición muy anticientífica, cercana a la deserción, pues el rol de los científicos es, precisamente, hallar las leyes que la naturaleza sigue en distintas situaciones.

La cosa no es sólo con los probabilistas. Uno de los paralelos que hace entre la física y la matemática es el siguiente:

Siglo XVIII -- Mecánica clásica -- Ecuaciones diferenciales ordinarias.
Siglo XIX -- Mecánica del continuo -- Ecuaciones en derivadas parciales.
Siglo XX --- Turbulencia, plasticidad --- ???

Viene después una serie de ¿por qué?s sobre el (mal) uso de ecuaciones diferenciales muy entretenido, y le pega a casi todos los que conozco que laburan en esto (yo incluído! no se vayan a creer que me salvo).

Incluso sobre la enseñanza en general, el libro arranca con el siguiente párrafo:

A menudo cito la parábola de los talentos de los Evangelios. Las parábolas son como teoremas generales, y pueden ser transmitidas por gente que no necesariamente entiende las distintas funciones de la enseñanza: si después de enunciar un teorema general uno da un ejemplo, los estudiantes flojos sólo entienden el ejemplo, mientras que los buenos estudiantes verán que el teorema se aplica a distintas situaciones. Los Evangelios muestran repetidamente que los discípulos de Jesús de Nazareth no entendían las parábolas, y con frecuencia pedían ejemplos.

Impresiona, también, que por este comienzo se ve obligado a aclarar más de una vez que es ateo desde los 13, y agrega la aclaración en la introducción como post scriptum para que los fundamentalistas ateos no abandonen su libro después de esas pocas líneas.


Los palos van, también, para los especialistas del área:

There are deluded people who think that Γ-convergence answered the question. Were they victims of saboteurs, who made them adopt the idiotic belief that every material which contains energy is elastic?

Está interesante, y estoy omitiendo mucho de lo que dice. No es común una declaración de principios como la que hace en el primer capítulo que escribe: 1 Why Do I Write?, y después vienen dos capítulos más donde detalla su interpretación del tema después de las décadas del '70 y del '80.

Sería divertido ver más libros así, y divertido no es la palabra correcta: tal vez sea importante, porque aporta la visión de uno de los fundadores de un tema, sus opiniones, y sus objetivos.