φ = (1 + √5)/2 es conocido como el número de oro, razón áurea, divina proporción... y hay miles de ejemplos donde aparece. Su relación con la sucesión de Fibonacci es la siguiente:
limn → ∞ Fn+1 / Fn
Es decir, el cociente de dos números de Fibonacci consecutivos se va pareciendo a φ para valores suficientemente grandes.
NOTA 1: no siga leyendo si no le gustan las matemáticas.
Una demostración: supongamos que existe el límite y vale L. Ahora, usando que
L = lim Fn+1 / Fn = lim (Fn + Fn-1) / Fn = 1 + 1/L,
despejando, L2 - L - 1 = 0, y esta cuadrática se resuelve fácil (repitan todos: menos b mas menos raíz cuadrada...).
NOTA 2: no siga leyendo que esto empeora.
¡Gueit! De facking fórmula jas tchú solutions: (1 + √5)/2 y (1 - √5)/2. ¿Por qué no es la segunda?
Eeejem, pensemos, pensemos... L = 1 + 1/L, no? Entonces L es mas grande que uno, tiene que ser el primero!
NOTA 3: no siga leyendo si le quedan neuronas vivas.
¿Fin? No, falta un detallecito: 'suponimos' que el límite existía... ¿Por qué no es infinito? Está claro que Fn es cada vez mas grande. Entonces, Fn-1 / Fn < 1, y queda Fn+1 / Fn < 2.
NOTA 4: no siga leyendo.
¿Y cómo sabemos que no oscila, que no va tomando valores entre 0 y 2 pero sin converger a ninguno?
Fácil, pero hay que apelar a un par de trucosidades:
L = 1+ 1/(1+1/L) = 1+ / [1+1/(1+1/L)] = 1 + 1/ {1+ / [1+1/(1+1/L)]} = ...
Eso es el principio de un desarrollo en fracción continua, la idea es ir reemplazando cada F sub algo por los que lo forman, y retroceder hasta dar con un cociente que sepamos que converge a algo, y eso vale porque toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Con lo cual, todos convergen a lo mismo, y el único L posible es φ.
NOTA 5: le dije que no siguiera leyendo. Ahora no se queje en los comments.
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