16.11.04

782.- Probando, probando

Luz, cámara, acción:

Estos son distintos acercamientos a la dimensión en matemáticas, por supuesto todo muy informal y charlado, pero nada que no se pueda justificar rigurosamente con cuatro o cinco años de estudios.

Cuando uno piensa en la palabra 'dimensión', piensa en 'tamaño', pero en matemáticas, hay varios conceptos relacionados con la dimensión.

Hace unos 2300 años, en 'Los Elementos' de Euclides, se estudiaban las propiedades de figuras planas (triángulos, rectángulos, círculos), y también de cuerpos sólidos cubos, esferas, cilindros). En las primeras, uno habla del ancho y del largo de un rectángulo, pero no tiene 'espesor', es chato; tienen dos dimensiones. Para los segundos, que se dicen tridimensionales, uno habla del ancho, largo y alto.

Si uno piensa en líneas, en rectas, en ese caso tendríamos una sola dimensión. Un segmento tiene una longitud, pero no tiene ancho ni alto. Idealmente, un hilo sería un ejemplo de un objeto uni-dimensional, así como una hoja sería uno de dos dimensiones, mientras que una pelota, un objeto macizo, tiene tres dimensiones.

Allá por el siglo XVII, aparece la geometría cartesiana (Descartes, Fermat), que utiliza coordenadas para describir las figuras. Un punto en la recta se podía representar con un solo número, contando desde el cero. En el plano, uno necesita dos números (es igual en la superficie de la tierra, uno tiene que dar dos coordenadas, la longitud y la latitud). Pero en el espacio, se necesitan tres: desde Exactas podemos ver el Aeroparque, y los aviones que vienen bajando, para determinar su posición no alcanza con dos cifras, podemos tener uno encima de nuestra cabeza, la diferencia es una tercer coordenada, podríamos llamarla altitud.

Aca hubo un cambio muy sutil en la noción matemática de dimensión, desde ese momento se relacionó la dimensión con la cantidad de coordenadas necesarias para describir la ubicación de un punto. Una superficie, el espacio, tenían dos o tres dimensiones porque ésta era la cantidad de coordenadas necesarias.

Pero a fines del siglo XIX, aparecieron los problemas, y cambió otra vez la idea de 'dimensión' en matemáticas: Cantor en Alemania, y Peano en Italia, encontraron resultados sorprendentes, que chocaban con esta idea de asignar coordenadas.

Para entender un poco el problema, tomemos un hilo. Idealmente, tiene dimensión uno, es sólo 'largo', sin ancho ni alto (por supuesto, un hilo de verdad no es exactamente así, tiene cierto grosor, pero olvidémosnos por el momento, total Peano para esto tomaba una recta de verdad, una línea unidimensional). Ahora, enrollemos el hilo sobre sí mismo, una y otra vez, lo ovillamos hasta formar una pelota: ese es un objeto de tres dimensiones (Peano hizo algo parecido con la recta, retorciéndola y curvándola, haciendo que recorriera una y otra vez el espacio). De golpe, un objeto unidimensional se transformó en uno de tres dimensiones. Si antes de ovillar el hilo lo hubiese numerado, ahora cada punto en la pelota tendría asignado un número, y podría describir cualquier punto del ovillo con una sola coordenada, no con tres. ¿Entonces la pelota es unidimensional? ¿O el hilo tenía tres dimensiones?

En la realidad, en el ejemplo del hilo, el hilo tiene tres dimensiones, no es cierto que no tenga 'ancho' ni 'alto'. Pero en el trabajo de Peano, la curva era unidimensional, así que el problema era mas serio de lo que parecía, y durante mucho tiempo se le estuvo dando vueltas a la cuestión (esto degeneró en los fractales).

Hoy día, por un lado se mantiene la cuestión de las coordenadas para hablar de dimensión, pero es lo que llamaríamos una 'dimensión como espacio vectorial'. Esta dimensión no está necesariamente obligada a ser 1, 2 ó 3: uno puede hablar de más dimensiones (aunque sea incapaz de dibujar nada). Como ejemplo de esto, para describir un punto en esta habitación, necesito 3 coordenadas. Pero si quiero describir la posición de un objeto sólido, tengo que dar 6 coordenadas. Con una lapicera es fácil empezar a entender por qué: tres me dicen dónde está la punta, y las otras tres, el final (mientras que si sólo doy la ubicación de la punta, hay muchas opciones todavía). Cuando alguien trabaja en aplicaciones prácticas (mecánica, robótica), trabaja con 6 'dimensiones', pero hay que entender que sólo se refiere a la cantidad de coordenadas que necesita para describir la posición de un objeto.

Pero el tipo de problemas planteados por Cantor y Peano obligó a re-estudiar los objetos geométricos con más cuidado. Aparecieron distintas nociones de dimensión, principalmente, gracias a Poincaré, Hausdorf, Minkowski y Bouligand, entre otros matemáticos, basadas en otras herramientas y otras ideas.

Un camino posible, por ejemplo, es el de las dimensiones fractales, donde ahora se acepta que la dimensión no necesariamente tiene que ser 1, 2, o 3, sino que admite números fraccionarios. Es difícil explicar esto intuitivamente, porque es demasiado anti intuitivo, pero el ejemplo del hilo y el ovillo puede ayudar: si empecé en dimensión 1, con el hilo extendido, y cuando terminé de enrollarlo tengo dimensión 3, es creíble que en el medio pasé por otros valores. Hay posiciones del hilo mientras estoy enrollando que no corresponden ni a dimensión 1, ni a dimensión 3, y vaya uno a saber cuánto valen, o cómo calcularlas.

Otro camino, clásico en la topología, consiste en estudiar qué pasa cuando uno 'rompe' el objeto que tiene, y mira a ver qué pasa. Por ejemplo, a una línea, si le hacemos un agujerito (si quitamos un punto, por ejemplo), quedan dos partes separadas. Si yo me muevo por la línea, no puedo pasar al otro pedazo. Quedé a un lado del corte.

En cambio, si a una hoja de papel, a una figura plana) le hacemos un agujero, todavía podemos recorrer la hoja de un lado al otro, nos podemos mover por ella sin problemas. Lo mismo pasa en el espacio, si yo quito una parte, todavía me puedo mover por todo lo que quedó.

Ahí tenemos una diferencia entre dimensión uno y otras dimensiones, una diferencia más profunda que las coordenadas. Uno se podría preguntar si habrá forma de distinguir entre dimensión dos y tres, por ejemplo, y se pueden ver dos muy sencillas.

Una, sería quitar una línea en vez de un punto. En la hoja, si trazamos una línea de lado a lado, quedó separada en dos partes, y no se puede cruzar de una a otra sin cruzar esta línea. En cambio, en el espacio, quitar una línea es poco, pensemos por ejemplo en una columna o un caño que atraviese una habitación: siempre puedo girar alrededor de ella y visitar cualquier otro punto de la pieza.

Otra opción, sería tirar un lazo, como si tratara de atrapar un animal, y ver si puedo cerrarlo, contraerlo. En una hoja de papel donde hay un hueco, si el lazo rodea el hueco, no tengo forma de cerrarlo del todo, queda 'enlazado' el borde del hueco que falta. En el espacio, en cambio, si falta un huequito, y un lazo queda atracado ahí, siempre puedo levantarlo y sacarlo.

Estas nociones de dimensión sugieren sugieren una sola cosa: en el futuro, seguro aparecerán nuevas...

1 comentario:

traidos de zonalibre dijo...

El rulo de Peano esconde algo: no se puede volver. No se puede a un espacio de dos dimensiones (o de 3) convertirlo (desenrollarlo) en algo de una dimension sin cortarlo ni aplastarlo. Esto es la "invariancia del dominio" y sienta las bases para hablar de dimension en topologia.
Esto, claro esta, es para dimensiones enteras. Los que hablan de dimensiones fraccionarias son unos depravados. Y Gelfand-Kirillov merecen la hoguera.

Escrito por Matias a las Noviembre 16, 2004 05:07 PM

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a mi me parece que me van a cortar o aplastar, pero por el post anterior, pero vos me podés defender:

¿¡ cómo se les ocurre traducir splines por "cercha" !?

Escrito por JuanPablo a las Noviembre 16, 2004 06:13 PM

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volviendo a éste post, ¿zafa el versito éste? sin ser formal, tampoco se miente tanto, ¿no?

el problema es que se entienda...

Escrito por JuanPablo a las Noviembre 16, 2004 06:49 PM

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matías el chancho se llama Peano? es encantador que le digas rulo a la colita de peano.
(pensar que después será jamoncito)

Escrito por pini a las Noviembre 16, 2004 07:22 PM

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todo chancho que camina, va a parar al asador

pini, traé el chimichurri

Escrito por JuanPablo a las Noviembre 16, 2004 07:55 PM

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Claro, todo encaja, por eso las lonchas de jamón ibérico solo 1/2 dimensión.

Escrito por itn a las Noviembre 16, 2004 08:11 PM

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mandá uno!!

Escrito por JuanPablo a las Noviembre 16, 2004 10:07 PM

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Pini: Peano no era chancho, pese a su apellido. Era dios. Segun Kronecker, "dios hizo a los naturales, el resto es obra del hombre". Y Peano hizo a los naturales. Ademas hizo su rulo. Bueno, claro, es posible que dios sea chancho (con perdon de los judios y los mahometanos).

JP: creo que se entiende, pero eso lo debe decir el publico no matematico.

Escrito por Matias a las Noviembre 17, 2004 11:49 AM