952.- Markelo's primes

Hace poco, Markelo propuso una secuencia de números y se preguntaba por la cadena de primos más largos que se podría armar.

Investigando en algunos libros de primos -por ésta y otra razón, que espero comentarles, ojalá que en breve- encontré un problema basado en la demostración de Euclides de que existen infinitos números primos.

Veamos: que existen infinitos primos se puede demostrar de muchas maneras, la original de Euclides sigue siendo la más simple, se supone que hay finitos y que todos son: p₁, p₂,..., p_n. Ahora, se forma el número

M = p₁ x ... x p_n + 1

(multiplicamos todos y sumamos 1). Está claro que ninguno de los primos que teníamos dividen a M... con lo cual es primo, o es divisible por un primo que no estaba en nuestra lista. Luego, nuestra lista estaba incompleta, no pueden existir finitos primos.

Problem(it)a: Llamemos p? al producto de todos los números primos entre 1 y p (una especie de factorial, pero sólo de primos). Ahora, consideremos el número:

M_p = p? + 1

i.- ¿Será cierto que infinitos M_p son primos?

ii.- ¿Será cierto que infinitos M_p no son primos?

Resultados: para p = 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23081, 24029 los números son primos. El más grande es justamente 24029? + 1. Y hasta 35000, no hay más.

Para el problema similar, con p? - 1, el mayor es 15877? - 1.

(estos resultados se deben a Caldwell, y a H. y R. Dubner)