1363.- El problema del círculo de Gauss

Las respuestas al post anterior, y en especial la estimación de Hernán del número de cuadrados dentro de un círculo, me empujan a contar esto. Es uno de los primeros problemas en los que me metí 'en serio' y por mi cuenta, con la esperanza de entender cómo funcionaba y esperando que saliera algo.

El problema del círculo de Gauss es otro problema, una pregunta aritmética que se puede rastrear casi hasta Diofanto: ¿de cuántas formas se puede expresar un entero como suma de dos cuadrados?, y que a primera vista no parece tener relación con lo anterior.

La respuesta es retorcida, porque para muchos enteros la respuesta es: de ninguna. Por ejemplo, 5 = 1+4, pero 7 = ?;
25 = 25 + 0 = 16 + 9, pero 28 = ?... y demostrar qué está pasando es difícil: depende de los divisores que tiene el número (casi todos los primos son de la forma 4k+1 ó 4k+3), y se podrá escribir como suma de cuadrados según las potencias a la que aparecen los 4k+3. Por ej., 3 no se puede escribir como suma de cuadrados; 9 sí: es 0+9; 12 no, 18 = 9+9... ¿se ve algún indicio? Gauss demostró una fórmula cerrada que dice exactamente de cuantas formas puede escribirse (hubo otras demostraciones antes, pero la primera completa es suya), pero era casi inútil porque había que factorizar primero el número.

Entonces, tuvo una idea genial: en vez de estudiar cuántas formas hay de escribir un número como suma de cuadrados, se preguntó cuántas formas hay en promedio de hacerlo. En promedio quiere decir que calculo cuántas formas hay para 0, para 1, 2, 3,..., n, las sumo, y las divido por n. La ventaja es que se puede contar muy rápido cuantas formas hay para todos los números a la vez entre 0 y n (sin utilizar la fórmula que había encontrado Gauss): son los puntos de coordenadas enteras dentro del círculo de radio raíz de n.

¿Se empieza a ver la similitud con el problema del post anterior?