1385.- Convergencia

La serie de término general 1/n^p converge cuando p es mayor que 1, y diverge si p es menor o igual que 1. Todo muy lindo, pero siempre vi que usen el criterio de la integral para probarlo, así que acá hay una demostración cortita sin usarlo:

Agrupamos la serie en bloques de 2^k números:

1 +

1/2^p + 1/3^p +

1/4^p + ... + 1/7^p +

...

1/(2^k)^p + ... 1/(2^k+1-1)^p + ...

Ahora, acotamos las sumas por arriba, en cada renglón el primer término es el más grande (observen que es de la forma 1/(2^k)^p, y casualmente hay 2^k términos!) así que nos queda:

2⁰ +

2¹ x 1/(2¹)^p +

2² x 1/(2²)^p +

...

2^k x 1/(2^k)^p + ...

Ahora, simplificando, nos queda el término general 1/(2^k)^p-1, que es la geométrica (1/2^p-1)^k.

Y converge porque p es mayor que 1 (la razón es menor que 1).

Acotando al revés, para 1/n, se muestra que diverge porque cada grupo de términos se acotan por debajo por 1/2; un poco de cuentas muestra que si p es menor que 1, se puede demostrar que diverge de la misma manera.