15.4.08

1385.- Convergencia

La serie de término general 1/np converge cuando p es mayor que 1, y diverge si p es menor o igual que 1. Todo muy lindo, pero siempre vi que usen el criterio de la integral para probarlo, así que acá hay una demostración cortita sin usarlo:

Agrupamos la serie en bloques de 2k números:

1 +

1/2p + 1/3p +

1/4p + ... + 1/7p +

...

1/(2k)p + ... 1/(2k+1-1)p + ...


Ahora, acotamos las sumas por arriba, en cada renglón el primer término es el más grande (observen que es de la forma 1/(2k)p, y casualmente hay 2k términos!) así que nos queda:


20 +

21 x 1/(21)p +

22 x 1/(22)p +

...

2k x 1/(2k)p + ...


Ahora, simplificando, nos queda el término general 1/(2k)p-1, que es la geométrica (1/2p-1)k.

Y converge porque p es mayor que 1 (la razón es menor que 1).

Acotando al revés, para 1/n, se muestra que diverge porque cada grupo de términos se acotan por debajo por 1/2; un poco de cuentas muestra que si p es menor que 1, se puede demostrar que diverge de la misma manera.