1543.- Tres teoremas sobre el agua y su falta de forma

Teor 1: Imagenemos un río, y pongamos una red hexagonal en una parte de la corriente de agua, entre las dos costas. Elegimos hexágonos al azar, y colocamos en ellos una columna de cemento (si dos son vecinas, se unen herméticamente).

Solo hay dos resultados posibles: o quedó abierto un curso de agua, o las columnas forman un dique. En definitiva, todo juego de Hex termina con la victoria de uno de los jugadores.

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Teor 2. En un terreno llano colocamos columnas unas al lado de otra, herméticamente unidas la columna i con las i-1 e i+1 (y sólo con ellas), tal que la primera y la última también se peguen. Quedan dos regiones separadas, una acotada, que podemos llenar de agua sin que pase a la otra.

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Teor 3: En un estanque cuadrado, agitamos el agua (suavemente) y al menos un punto no se moverá (o las aguas se abren).

Advertencia: los próximos párrafos contienen la demostración. Puede omitirse en una primera, segunda, tercera,... lectura. El simbolito √ delante de algunos números 2 se refiere a 'raíz'. El html no es math-friendly.

Veamos: si todo punto se desplazó al menos una distancia h, tapemos la superficie con una red de triángulos de diámetro d menor a h (diremos al final quiénes son h y d).

Pintemos los vértices de rojo si la coordenada x varió h/√2 o más. Si no, lo pintamos de verde (la coordenada y varió h/√2 o más).


el camino es sólo indicativo, podría ser cualquier otro

Quedará un camino de vértices rojos o uno de verdes (reemplace un triángulo por una columna si tiene al menos dos vértices rojos: tiene un dique, o pasa el agua). Supongamos que el camino es rojo, da igual. Comienza en a*, y la coordenada x aumentó al menos h/√2. Llega a b*, donde disminuyó al menos h/√2. Luego, en algún momento, se produjo un cambio de signos: en dos vértices de un mismo triángulo saltó al menos 2 h/√2 (que es mayor a h).


Ahora, necesitamos un poco de análisis para decir quiénes son h y d:

Si T es la transformación que agita el agua, y la norma euclídea de T(x,y)-(x,y) no se anula, es mayor a un h (pues es continua).

Las imágenes de dos puntos del cuadrado por T estarán a distancia menor que h si estaban a distancia menor a un d' (pues T uniformemente continua).

Luego, si d es menor a d', hay dos vértices de un mismo triángulo donde la función salta más de h. Ridículo!

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Estos tres grandes teoremas son equivalentes entre sí. No es difícil demostrar alguna versión más o menos general una vez que uno tiene la idea.

Sobre ellos, digamos que el primero lo identifica a Jordan. Gauss lo utilizó varias décadas antes, sin demostrar, considerándolo 'evidente'.

Brouwer, intuicionista, rechazaba las matemáticas 'tradicionales', pero su teorema de punto fijo demostró ser de gran utilidad en la matemática clásica. Una aplicación que hizo fue generalizar el de Jordan a Rⁿ, cambiando curvas por hipersuperficies. Parece que Poincaré lo intuyó: su idea fue que si se echaba azucar en una taza de café y se revolvía, algún granito en la superficie no cambiaba de lugar (su teorema ergódico es una de las tantas ramificaciones de esa idea tan simple).

El Hex fue inventado por Nash (pocos años antes lo había inventado Piet Hein). La relación de este juego con el teorema de Jordan es evidente, no es difícil probar la equivalencia. Con Brouwer es más difícil, pero sale: la existencia de un equilibrio de Nash es consecuencia directa de este teorema (y le valió un Nobel). Para la otra implicación, sólo se debe revisar lo que hicimos arriba, una idea de David Gale.

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La idea que los conecta es que el agua no tiene forma, pero nos revela la forma de los lugares que ocupa. Sirva de moraleja, o mejor que sirva de base para la demostración de algún otro teorema.

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(especial para el Carnaval Matemático, organizado esta vez por Tito Eliatron)