16.8.05

971.- Mas sobre el problem(it)a del post 968

Manemático me hace notar la naturaleza topológica de su demostración, y me envía una generalización del problema, con varios problemas "para pensar" nada elementales. Matías "deforma" el dibujo de Manemático, llevándolo del caso particular a cualquier otro por un corrimiento de las rectas. Nop deforma en cambio el plano, lo cierra en una esfera, y aplica la fórmula de Euler (V-A+C=2) al sólido que queda (la esfera), donde las caras son las regiones, los vértices son las intersecciones, y las aristas son los trozos de rectas (hay que notar que las rectas se cortan todas "en el infinito polo norte"), y sin checkear las cuentas, me gusta el carácter geométrico-topológico de su solución. De a poco, el problem(it)a fue avanzando en complejidad, y vaya uno a saber hasta dónde puede llegar.

Por lo pronto, la primera generalización casi obligada: ¿cuantas regiones hay en R3 si partimos con k planos? (como antes, no paralelos, y que no se corten 3 juntos). ¿Y en Rn, con k hiperplanos?

6 comentarios:

manematico dijo...

pues la solucion del nop esta bien elegante. mira que ni dibujitos necesito. a mi me gusto mucho.

Matias dijo...

Voto por nop tambien. Buenisima demostracion.
Un comentario al enunciado de este: supongo que no se cortan 3 planos _en una recta_ , ni se deben cortar 4 planos.

JuanPablo dijo...

realmente es muy buena.

De los 3 planos en una recta, de acuerdo. Lo de los 4 no lo entendí :S

Matias dijo...

Digo que no se deben cortar 4 planos (en un punto). Cuando uno toma hiperplanos en "posicion general" en un espacio de dimension d, la interseccion de k de ellos tiene dimension d-k (a menos que k>d). Por eso para que la posicion sea general, 3 planos en R^3 deben tener una interseccion de un punto, y 4 deben tener interseccion vacia.

Ya que estamos, me sale resolverlo con el metodo de nop y con el mio. El de manematico es mas dificil de adaptar, porque incluye un plano proyectivo. Manematico: no se manda un dibujito? :)

JuanPablo dijo...

Estimado Nop, te comunicarías conmigo por mail? (juandemairena, arroba, fibertel, com, ar)

JuanPablo dijo...

claro, matías! (yo descarto los que no sirven como "medida cero")