El segundo término del numerador del primer límite, tiene mal el extremo superior de integracion (deberia ser x, no x+h)
A mí me tomaron algo parecido en el coloquio de Análisis I ; me presentaron ese límite, nomás, y me pidieron que lo calcule; yo (estudiante de ingeniería, no de matemática, téngase en cuenta) lo resolví por otro lado (geométricamente, retorcidamente, no muy rigurosamente), necesité una ayudita para darme cuenta de que era la derivada de la integral.
y estoy seguro de que si alguien pone esto en un examen despues se va a sorprender mucho cuando vea que esta mal. "... ah! esta mal porque me quedo f en lugar de f(x)??. Y por eso me pones todo el ejercicio mal??!!"
me gustaría conocer tu demostración, esta cuenta se puede hacer más rigurosa acotando f en la integral por el mínimo y el máximo y ahora simplificando en serio.
Otra opción es hacer teorema de valor medio para integrales, sale un f(t_h) . h y se tacha sólo el h.
Es simple (pero poco riguroso). Pensás la integral como el área (función continua- y positiva, para simplificar), tomás la aproximación de orden 0, te queda un rectangulo, el area es base por altura, la base es h que se simplifica con el denominador, y te queda la altura que es f(x)
(más correcto sería usar el valor medio, como decís; y se puede ver geométricamente de manera similar)
ja! no lo escribí esperando a ver si era trapecios: la aproximás por el rectángulo de base h y altura f(x), más el triángulo de base h y altura (f(x+h)-f(x)), que va a cero. aprox. de segundo orden, digamos, pero que termina dando lo mismo
uuhhh... me hace gracia, recién (hoy al levantarme) recordé que en aquel coloquio, mientras esperaba que viniera la profesora, confirmé mi resultado aplicando L'Hopital al límite! Claro que en tu planteo esto no tiene sentido (terminaríamos aplicando el teorema que queremos demostrar), pero en mi caso se trataba de calcular "como sea" el límite dado (lado derecho de tu primera ecuación). Y anda, aunque es retorcidísmo.
La profesora me dijo... "Sí, está bien, pero es la cosa más simple. Mirá, (apuntando a la fórmula original), ¿qué es esto?". Y en un instante se hizo la luz: "una derivada!", y etc.
claro, para el otro ejemplo era la forma en que lo hacía la mayoría, porque veían el 0/0, pero no veían que era el cociente incremental que corresponde a la derivada de la integral. El problema eran los que querían integrar e^{x^2}... mejor dicho, los que encontraban una primitiva...
La demostracion empleando el teorema del valor medio o acotando por maximo y minimo de f(t) tambien funcionan, pero lo de "f(t) con t entre x y x+h, como h va a cero, queda f(x)..." es mucho mas elegante
11 comentarios:
El segundo término del numerador del primer límite, tiene mal el extremo superior de integracion (deberia ser x, no x+h)
A mí me tomaron algo parecido en el coloquio de Análisis I ; me presentaron ese límite, nomás, y me pidieron que lo calcule; yo
(estudiante de ingeniería, no de matemática, téngase en cuenta) lo resolví por otro lado (geométricamente, retorcidamente, no muy rigurosamente), necesité una ayudita para darme cuenta de que era la derivada de la integral.
y estoy seguro de que si alguien pone esto en un examen despues se va a sorprender mucho cuando vea que esta mal. "... ah! esta mal porque me quedo f en lugar de f(x)??. Y por eso me pones todo el ejercicio mal??!!"
corregido, gracias!
me gustaría conocer tu demostración, esta cuenta se puede hacer más rigurosa acotando f en la integral por el mínimo y el máximo y ahora simplificando en serio.
Otra opción es hacer teorema de valor medio para integrales, sale un f(t_h) . h y se tacha sólo el h.
¿más demostraciones?
"eso te lo justifico, es f(t) con t entre x y x+h, como h va a cero, queda f(x)... dale! aprobame!"
Es simple (pero poco riguroso).
Pensás la integral como el área (función continua- y positiva, para simplificar), tomás la aproximación de orden 0, te queda un rectangulo, el area es base por altura, la base es h que se simplifica con el denominador, y te queda la altura que es f(x)
(más correcto sería usar el valor medio, como decís; y se puede ver geométricamente de manera similar)
ja! no lo escribí esperando a ver si era trapecios: la aproximás por el rectángulo de base h y altura f(x), más el triángulo de base h y altura (f(x+h)-f(x)), que va a cero. aprox. de segundo orden, digamos, pero que termina dando lo mismo
en algún momento (~2000) me acuerdo que tenía 5 demostraciones del límite \frac{ \int_0^h e^{h^2} }{ h }
uuhhh... me hace gracia, recién (hoy al levantarme) recordé que en aquel coloquio, mientras esperaba que viniera la profesora, confirmé mi resultado aplicando L'Hopital
al límite!
Claro que en tu planteo esto no tiene sentido (terminaríamos aplicando el teorema que queremos demostrar), pero en mi caso se trataba de calcular "como sea" el límite dado (lado derecho de tu primera ecuación).
Y anda, aunque es retorcidísmo.
La profesora me dijo... "Sí, está bien, pero es la cosa más simple. Mirá, (apuntando a la fórmula original), ¿qué es esto?".
Y en un instante se hizo la luz: "una derivada!", y etc.
claro, para el otro ejemplo era la forma en que lo hacía la mayoría, porque veían el 0/0, pero no veían que era el cociente incremental que corresponde a la derivada de la integral. El problema eran los que querían integrar e^{x^2}... mejor dicho, los que encontraban una primitiva...
La demostracion empleando el teorema del valor medio o acotando por maximo y minimo de f(t) tambien funcionan, pero lo de "f(t) con t entre x y x+h, como h va a cero, queda f(x)..." es mucho mas elegante
otra dem: si es C^2, hacer Taylor de primer orden. Si no, usar Weierstrass
Publicar un comentario