11.12.06

1225.- Gerberto

Escribe Cajori que escribe Hermann Hankel:

el primer trabajo matemático de la Edad Media que merece ese nombre es una carta de Gerberto a Adalbold, el obispo de Utrecht, en la cual explicaba la razón por la cual el área de un triángulo, obtenida "geométricamente" como el producto de la base por la mitad de la altura, difería de la calculada "aritméticamente" de acuerdo a la fórmula a(a+1)/2, utilizada por los topógrafos, donde a es el lado de un triángulo equilátero. Dio la explicación correcta de que en la última fórmula se cuentan todos los pequeños cuadrados en los cuales se divide el triángulo, pero que algunos se prolongan fuera de él.


Cosa'e locos 1) la carta puede llegar a estar online si se copan y la escanean (y capaz que está, si uno busca mejor). Y estamos hablando de una carta de más de mil años.

Cosa'e locos 2) Gerberto es más conocido como el Papa Silvestre II (999-1003), y entre otras cosas, tradujo y corrigió la geometría de Boecio, agregándole resultados nuevos.

Cosa'e locos 3) La formulita del área del triángulo no está en ninguna parte de los Elementos de Euclides.

10 comentarios:

hernan dijo...

no entiendo lo de "triángulo equilátero". ¿no sería rectángulo (de catetos iguales)?

Martín dijo...

No creo, Hernán, en ese caso a^2/2 es exacto, y no hay nada que discutir! (o me estoy perdiendo algo?)

El área de un triángulo equilátero de lado a es, si no me equivoco, (1/2)sqrt(3) a^2. En ese caso, la aproximación a(a+1)/2 funcionaría solamente para valores bastante específicos de a, no? La igualdad de las fórmulas se da en a=1/(-1+sqrt(3)), más o menos 1.37. Pero lejos de ahí, no se parecen para nada: la diferencia tiende a infinito!

Otra cosa que me sorprende de este asunto es que yo pensaba que la fórmula de Herón era muy vieja? Porque dada esa fórmula uno tiene el área exacta.

hernan dijo...

Yo supuse que la aproximacion se trata
de imaginar un trangulo como mitad de un cuadrado, cuya arista mide "a" unidades. Si pensamos en ese cuadrado como el conjunto de a x a cuadraditos unitarios, el cuasi-triangulo resultante ocupa "a (a + 1) /2" cuadraditos (lo cual es la sumatoria 1 +2 + 3...+ a ) y que resulta casi igual al resultado verdadero (a + a / 2 )

x o o o o
x x o o o
x x x o o
x x x x o
x x x x x

JuanPablo dijo...

hernán, revisé el cajori y dice 'equilateral', sospecho por lo que decís en el otro comment que para el equilátero hicieron una demostración similar, pensá en los números triangulares

martín, la fórmula de herón es más vieja, sí, pero no estaba muy difundida en europa. Los romanos tenían la enciclopedia de boecio, bastante mala, que era un rejunte de cosas sueltas, y sin embargo era el texto principal para estudiar geometría

dotuev dijo...

de todas formas, el argumento de hernan es muy bueno

Martín dijo...

Estoy de acuerdo en que es muy ingenioso lo de Hernán.

Pero es muy discutible como aproximación! Tomemos algunos números concretos: llamemos H al "área de Hernán" y A al área verdadera.

si a=0.1, H=0.055, A=0.0087 (1/6)
si a=1, H=1, A=0.87 (15% de menos)
si a=10, H=55, A=87 (58% más)
si a=100, H=5050, A=8660 (71% más)

hernan dijo...

Hey, no! si es como yo lo imaginé, al aproximación mejora al aumentar el tamaño.
Puesto que estamos aproximando el area del triagulo que es mitad del cuadrado, y "a(a+1)/2" equivale a "a^2/2" cuando "a" es grande.
Es, por otro lado, la única manera que se me ocurre hacer aparecer el numero "a(a+1)/2", y , sobre todo, de entender aquello de que los cuadraditos cubren exactamente el área, exceptuando el poquito que sobra (de los cuadraditos que estan sobre la diagonal).

JuanPablo dijo...

....x....
...x.x...
..x.x.x..
.x.x.x.x.
x.x.x.x.x

yo pensaba en algo como lo de arriba, por eso sugerí el tema de los números triangulares, y parece que era así: chusmeando en jstor, resulta que el libro de Cajori generó la misma discusión, entre un tal Miller y Cajori:

Amer Math Monthly 28 (1921) 256-258
Amer Math Monthly 29 (1922) 303-307

Martín dijo...

Hernán, no me parece que la aproximación mejore al aumentar el tamaño. Para un lado a entero, el área "sobrante" es la suma de la mitad de las áreas de los cuadraditos que están en la diagonal. Hay a cuadraditos, y tienen área 1, así que el "error" es a/2, que es justamente |a^2/2 - (a(a+1)/2)|.

La forma en que la idea tuya aproxima es si dejás a fijo y dividís en cuadraditos de lado a/n. Porque entonces tu cuenta da como área aproximada del triángulo: hay n(n+1)/2 cuadraditos de área a^2/n^2, de manera que el área aproximada es (1+1/n)a^2/2

leonbloy dijo...

Cuando dije que aproximación mejora al aumentar "a", me refería, claro, a que disminuye el error relativo.

Por otro lado, los antiguos y medievales no pensaban (si no me equivoco) en las magnitudes numéricas (el lado "a", en este caso) en términos de número "real", ni siquiera lo que hoy llamamos "número racional", sino siempre como entero, siempre como una cuenta de "n" unidades de medidas; al número racional no lo pensaban como nosotros, lo veían como un número entero de fracciones de la unidad. Así, de una pizza cortada en 8 me como una porción, lo que me queda no es "0.875 pizzas", ni "7/8 pizzas", sino "siete porciones" (donde la porción es 1/8, sí). Si no me equivoco, dije.