5.12.06

1223.- Este es un post a pedido

de Ramiro que dice que me guglió pero no encontró ningún post hablando de Magic Squares / Cuadrados Mágicos salvo en una referencia al grabado de Albercht Durer "Melancolia".

Mi mail / post respuesta:

es cierto, nunca hablé de eso y confieso por qué: los consideraba una pérdida de tiempo, una boludez sin contenido matemático 'real' ni mayor interés que ubicar numeritos para que filas/columnas sumen lo mismo...

...hasta que se me ocurrió considerarlos como matrices, y como a tales, buscarles sus autovalores.

Resultado, que encontré con matlab que existían siempre autovalores: el valor de la suma S de cada fila/columna estaba; salvo ese, si estaba A estaba -A; y en los pares 0 era autovalor. Tratando de demostrar eso, vi que dividiendo por S era una matriz doblemente estocástica, y como los valores eran positivos, de Markov (eso explicaba que S fuera autovalor), etc. Eso los metía de cabeza dentro de una teoría más o menos bien conocida, y con propiedades de toda clase. Si hubiese pensado antes en eso, podría haber publicado algo al respecto, de hecho ya hay un paper que prueba menos de lo que digo ahí arriba.

Moraleja: muchas cosas son una boludez hasta que se las mira desde el ángulo adecuado, y en ese momento nos pueden hacer quedar como boludos a nosotros.


Y ahora, algo más grave. ¿Vieron que tampoco hablé nunca del sudoku? La única regularidad que descubrí es la misma del S como autovalor, consecuencia también de Markov. ¿Alguien se prende y hacemos algo más serio?

16 comentarios:

Ramiro dijo...

Tene en cuenta que hoy en dia estos "magic squares" tienen tres aplicaciones muy valiosas. Una es en criptografia (no es de mucha sorpresa), pero la segunda y la tercera son mas amplias.
El algoritmo de "Magic Squares" se esta aplicando al proceso de imagenes de varias formas.

Las aplicaciones son muy creativas:
Toshiba: http://museum.toshiba.co.jp/02visual/newtech091.html (smooth uneven pixel data).

Ahora, no te va a sorprender si te comento que este algoritmo se esta utulizando para computos cuanticos.
Recuerdo que una vez mencionaste la posible relacion de lo aleatorio de las particulas cuanticas a "ondas".
Bueno, siguiendo la misma linea, los "magic squares" estan dando sorpresas en el mundo cuantico tambien.

Como veras, estos "cuadrados magicos" esconden algo mas que calculo recreativo.

Matias dijo...

S es un autovalor con autovector (1,1,...,1), no hace falta el matlab para encontrarlo!! ;)
Los problemas de combinatoria a menudo parecen boludeces pero también a menudo hacen su aparición en lugares inesperados y haberlos estudiado antes da buenos frutos. Eso es la esencia de la matemática pura, no?

Con respecto al sudoku, me parece últimamente que son un buen modelo para explicar la matemática intuicionista o, más precisamente, la que niega el principio del tercero excluido. Hay sudokus que no se pueden hacer sin razonamientos por el absurdo, mientras que los buenos (desde una estética subjetiva y discutible, claro) no dependen de estos (de los razonamientos por el absurdo, digo, se entiende, creo).

JuanPablo dijo...

cierto matías, lo que no me imaginaba eran los pares A, -A, y respecto a la esencia de la mat. pura... salió en Phys. A el trabajo!!!

lo del sudoku es interesante, los 'buenos' pasan a ser los intuicionistas... brower estaría feliz de ver eso

ramiro, según el link, el nombre se lo pusieron porque "sounded catchy, so we decided to use it for the advertisement." Lo único que utiliza es que que los pixeles a iluminar van apareciendo de a uno por vez en cada fila y cada columna. Con el Sudoku pueden mejorar y simplificar todo, ya que iluminan los '1', después los '2', etc.

JuanPablo dijo...

(para el tema de criptografía, teoría de números y curvas elípticas, una breve referencia introductoria para los interesados: Magic Squares, Finite Planes, and Points of
Inflection on Elliptic Curves,
Ezra Brown, College Math J., 32(4) 2001)

Gustavo Piñeiro dijo...

Desde un punto de vista teórico, ningún Sudoku necesita inevitablemente razonamientos por el absurdo. Todos son resolubles por fuerza bruta, analizando caso por caso (aunque desde un punto de vista práctico esto sea inviable, teoría es siempre posible).

Que los Sudokus "más elegantes" no requieren razonamientos por el absurdo es una afirmación más bien dudosa que depende fuertemente de lo que se entienda por "elegante".

Por otra parte, más que como matrices, creo que los Sudokus deberían estudiarse como sucesiones de permutaciones (¡Ah! ¿Es lo mismo? Bueno, perdonen mi ignorancia...)

Santiago dijo...

En la cosa de Durero también hay un dodecaedro, por aquello de platónico, que es más bien difícil de dibujar. Pero todo eso es mucho más interesante en lo simbólico.

Lo de los cuadrados mágicos como matrices lo hice alguna vez en un examen, por ahi si lo encuentro... nada, si lo encuentro, lo encuentro y ya.

Matias dijo...

Gustavo!! como va?
Sí, es cierto, los sudokus se pueden hacer listando todos y viendo cuál encaja con los datos iniciales. Pero eso se puede también prohibir poniendo una cota a la memoria necesaria o al tiempo de ejecución, aún desde un punto de vista teórico.
Por otra parte, nadie dijo "elegantes". Yo hablé de "buenos" y aclaré "desde una estética subjetiva y discutible". Así que sí, claro, depende de lo que se entiende por "bueno". Pero no soy el único en esto:
http://www.dailysudoku.com/sudoku/faq.shtml#guess

JuanPablo dijo...

(se arregló el sistema, intenté antes y perdí el comment porque tiraba error!)

hola gustavo! (cambiamos nick?!) sobre los sudokus, creo haber leído en el sofista que muchos prefieren los deductivos, sin tener que hacer suposiciones (aunque no estoy seguro, tal vez recuerdo o entendí mal)

volviendo al tema matrices, el sudoku más 'pavo' sería una matriz circulante, ¿mantendrán los sudokus algunas de las propiedades de éstas?

pablo dijo...

Me permito preguntar desde mi desconocimiento:
Cuántos sudokus (9x9) distintos habrá?
Y cuántos de 6x6?
(De 3x3 són sólo (9!))

JuanPablo dijo...

pablo, ni idea, pero sospecho que crecen a lo bestia. A los cuadrados mágicos se los estudia por muestreo, porque también son una bocha

JuanPablo dijo...

santiago, la verdad es que durero fue un capo. Si tenés algún link sobre su obra, mandameló, plís!

Anónimo dijo...

Pablo:
9x9 da
6,670,903,752,021,072,936,960
según este blog, que refiere a la wikipedia en inglés.

santiago dijo...

http://dipmat.math.unipa.it/~grim/SiSala2.PDF

http://scholar.google.com/scholar?num=100&hl=en&lr=&c2coff=1&safe=off&q=cache:ZFh2fuT1FzwJ:www.physics.gatech.edu/people/faculty/finkelstein/Durer060214.pdf+durer+math

http://www.physics.gatech.edu/people/faculty/finkelstein/Durer060306.pdf

Sobre todo los ultimos dos, aunque uno es del caché de google, porque ya no aparece la pagina, así que es para leer pronto, porque si no se va.

No es que los tuviera, los acabo de encontrar

OviuaN dijo...

JP,
Toshiba no lo hizo solo por marketing.

La pantente esta basada en el algoritmo de Magic Squares les permitio expander el rango de espectro de color de 16 millones a un espectro de mas de un Billon de colores. (la ultima version).
El problema de un Sudoku es el limite de 9. Mientras que con Magic Squares se puede subir la resolucion exponencialmente. (Ahora usan Magic Squares de Orden 5, y si necesitaran mas resolucion solo suben el orden).

JuanPablo dijo...

oviuan, 9 es el límite porque trabajás en base 10, vos lo que necesitás es un cuadrado de nxn y n^2 números, podés hacerlo en base 16, 25, 36, etc.

patentalo y tirame un diego ;)

OviuaN dijo...

tengo entendido que los Magic Squares tienen propiedades unicas. Comparados con Sudokus no cumplen con ciertos requisitos.
Los Magic Squares pueden ser: Semi-Magic, Magic, Panmagic y Pandiagonal.
Los Sudokus son todos Semi-Magic, y para llegar a una combinacion Magic, el cuadrado tiene que tener un minimo de 25x25.

Las propiedades de un Magic Square brindan mas complejidad simetrica, mientras que un Sudoku puede darte la simetria, pero no la complejidad.

Aqui te dejo el famoso Magic Square de Benajmin Franklin:
http://tinyurl.com/tvh92

(De todas maneras si crees que podes lograr mas gamas de colores con Sudokus que con Magic Squares, arma tu patente).