19.8.07

1305.- Analisis posmoderno

Postmodern analysis, de J. Jost (3er ed. Springer, 2005), es excelente. El prólogo aclara el por qué del título, y lo traduzco abajo para los interesados.

Más allá del contenido (los apéndices del Evans de EDP desarrollados, definición de los Sobolev, regularidad de sol. débiles, ppio. del máximo y autovalores del laplaciano en 350 páginas, lo cual lo convierte en un excelente punto de partida para leer este otro gran libro -aunque él tiene también su propio libro de EDP) el análisis que hace es uno de sus puntos fuertes (otro, los ejercicios que tiene), y se liga con algo que venía pensando.

Hace poco leía un libro de "dinámica no lineal para físicos" (unas 200 pág., de unos autores rusos) y quedé impresionado. Aprendí mucho de ese pequeño texto, donde casi no había teoremas y/o demostraciones, sino intuiciones, ejemplos "con los dedos", "trivialidades" -como la que vinculaba el péndulo con los solitones-, o una deducción del Poincare map muchísimo más efectiva que la definición formal que uno acostumbra ver en los distintos textos (no muy distinta a ésta). A medida que lo leía, me impresionaban las cosas que me había perdido cuando estudié algunos de esos temas, y me preguntaba por qué no se las encontraba en los libros habituales de matemáticas. Este prólogo explica algo al respecto, y el libro debería ser leído por los interesados en el análisis y no en el análisis del análisis.


¿Qué quiere decir el título del libro, qué connotaciones tiene el adjetivo "posmoderno"? Un lector potencial seguramente plantee esta cuestión. Para responderla, debo distinguir el enfoque del análisis presentado aquí del que sus protagonistas llamaron "analisis moderno". El "Modern Analysis", como se lo ve en los trabajos del grupo Bourbaki o en los textos de Jean Dieudonne, está caracterizado por un tratamiento sistemático y axiomático, y por su marcha hacia niveles de abstracción cada vez mayores. Dada la tendencia de muchos tratados de análisis previos de degenerar en una colección inconexa de trucos para resolver problemas especiales, esto representó un logro saludable. En todo caso, para el desarrollo de una teoría matemática consistente y poderosa, parece ser necesario concentrarse exclusivamente en los problemas internos y estructuras y descartar por un tiempo las relaciones con otros campos de la ciencia, aún de las matemáticas. Se requiere una aislación casi completa para alcanzar ciertos niveles de elegancia intelectual y perfección que sólo una buena teoría matemática debe adquirir. Sin embargo, una vez que este nivel ha sido alcanzado, puede ser útil abrir los ojos otra vez para inspirarnos en problemas externos concretos. El enfoque axiomático comenzado por Hilbert y continuado y perfeccionado por Bourbaki nos ha conducido a algunas de las más importantes contribuciones matemáticas de nuestro siglo, notablemente en el área de la geometría algebraica. Este desarrolo sin dudas fue beneficioso para muchas áreas de las matemáticas, pero no para otras. En geometría, la poderosa herramienta de la imaginación visual ha sido descuidada, y fenómenos globales nolineales conectados con curvatura no siempre son considerados en forma adecuada. En análisis, también, tal vez se ha puesto demasiado énfasis en la teoría lineal, mientras que los problemas genuinamente no lineales fueron considerados demasiado diversos para ser subordinados a una teoría sistemática que los englobara. Este efecto fue particularmente notable en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales. Esta rama de las matemáticas es una de las que ha desarrollado la interacción más activa y estimulante con las ciencias, y aquellas ecuaciones que aparecen en las aplicaciones científicas típicamente exhiben una estructura genuinamente nolineal dadas las interacciones y otros efectos.

Así, la matemática moderna se ha comprometido con su propia estructura interna, y ha alcanzado un gran éxito ahí, pero tal vez ha perdido un poco de la estimulación que ofrece una interacción con las ciencias. Parcialmente esto se ha revertido en los últimos años, y en particular se han formado lazos bastante estrechos con ciertas áreas de la física teórica. También, en la investigación matemática, el énfasis se ha corrido un poco de las teorías generales hacia problemas más concretos que requieren métodos particulares.

Por lo tanto siento que sería apropiado presentar una introducción al análisis avanzado que preserve los logros de la teoría que se llamó a si misma "moderna", pero al mismo tiempo trascender sus limitaciones.

Durante siglos, "moderno" significó en las artes y las ciencias "nuevo", "diferente de lo antiguo", incluso "revolucionario", y por lo tanto fue un calificativo que constantemente se corrió de una escuela a su sucesora, y nunca se estancó con un estilo artístico o un paradigma de investigación. Esto sólo cambió en nuestro siglo, cuando lo abstracto fue llevado al extremo en la arquitectura y otras artes. En consecuencia, en cierto sentido, toda nueva teoría o dirección no puede avanzar más en ésta, sino que debe dar un paso atrás y retomar algunos de los logros de las teorías "premodernas". Así, la denominación "moderna" quedó ligada a un estilo particular, y la generación siguiente tuvo que llamarse a sí misma "posmoderna". Como argumentamos arriba, la situación en matemáticas es comparable, y por lo tanto parece lógico llarmar "posmoderno" a un enfoque que pretenda construir sobre los logros de la teoría moderna, pero que al mismo tiempo intenta descartar sus exageraciones.

Por supuesto, la palabra "posmoderno" no tiene un significado positivo ya que trae ciertas connotaciones de ser una mezcla de estilos arbitraria y sin principios. Déjenme asegurarle a los potenciales lectores que no se intenta hacer eso. En cambio, deseo dar una introducción coherente al análisis avanzado sin abstracciones inútiles que constituya una base sólida para las áreas de ecuaciones en derivadas parciales, el cálculo de variaciones, el análisis funcional, y otras áreas del análisis, como también para sus aplicaciones a problemas analíticos en las ciencias, en particular los que involucran efectos nolineales.

10 comentarios:

Pedro Terán dijo...

Perdona si te parece una pregunta idiota, pero ¿éste es un texto en el que se define la integral usando aproximaciones por funciones semicontinuas? No estoy seguro de enlazar correctamente el título con el contenido dentro de mi cabeza.

JuanPablo dijo...

hace eso exactamente en el cap. 12, para definir después la integral de Lebesgue

(btw, ¿por qué me parecería idiota la pregunta?)

Pedro Terán dijo...

Claro, como he acertado la pregunta puede parecer lógica; pero, ¿y si hubiera dicho algo como lo siguiente?

¿"Crimen y castigo"? Es donde sale un tipo que va persiguiendo a una ballena, ¿no?

Javier Moreno dijo...

Arranca de ceros. Interesante una serie de cursos de análisis basada en una aproximación como esa. ¿Ese capítulo 7 no debería estar mejor antes de definir los espacios de Banach?

JuanPablo dijo...

Me parece que en esas cosas está la diferencia, Javier: de R a R^n, para reconstruir la noción de límite y convergencia de sucesiones alcanza con reemplazar el módulo por una norma. Para ir de R^n a un espacio de funciones, también, aunque en el cap 4 define distancia y sucesiones de Cauchy en un Banach.

Va al 'hueso' del asunto, sin pasar por la teoría abstracta de los espacios métricos -como hace Dieudonne en su libro- después de todo, ¿para qué quiere perderse en problemas topológicos, si los espacios de funciones que quiere considerar son mejores?

Después sí, empieza con eso en el cap. 7, porque va a comenzar con la parte de cálculo y los L^p.

Me parece que esa es la gracia del libro, no se estudian los conceptos abstractos previamente, sino que se los va introduciendo a medida que hacen falta.

Por ahí, algún algebrista estará vomitando (saludos, matías!), pero es un buen enfoque para llegar rápido a temas elevados con mucho rigor.

Javier Moreno dijo...

Con lo que cuesta llegar hoy en día a cualquier parte interesante, una presentación como esta nunca cae mal.

Mi curso de Análisis I se iniciaba con la definición de la integral de Lebesgue, si no estoy mal. Siempre en abstracto y con ejemplos en los exámenes. Era delicioso. Jeje.

JuanPablo dijo...

jajajajaja!

"Siempre en abstracto y con ejemplos en los exámenes" qué buena idea para poner en práctica este cuatrimestre...

Matias dijo...

Saludos, Juan Pablo :-)
La generalización vale la pena si permite entender distintos ejemplos como casos particulares de uno solo, o si permite entender las ideas más conceptualmente. Pero la generalización y la abstracción en sí mismas no tienen ninguna ventaja; creo que en eso cualquier algebrista va a coincidir conmigo.

Julian dijo...

Por eso hacemos Algebra Lineal en cuerpor de caracteristica p, no Matias? :-)

JuanPablo dijo...

uhhhhhhhhhhhhh

dale julián, ahora tenés la oportunidad histórica de poner las cosas en orden