24.3.08

1379.- Problem(it)a

Tengo una esfera y el 90% de su superficie es blanca (el 10% restante es verde, o azul, o rojo, o amarillo,... pero no todos a la vez o sería también blanco). ¿Siempre podré inscribir un cubo en ella tal que todos sus vértices se apoyen en un punto blanco?

* * *


Pasando a otra clase de problemas, más graves, y probablemente sin solución, Craig linkea esta advertencia de la Universidad de Manchester. La frase "While the University does not wish to bar access to and use of such sites..." me pone los pelos de punta (¿se olvidaron de los foros?, dicho sea de paso), y me suena a una toma de partido por parte de una universidad en situaciones como la del post anterior.

10 comentarios:

JuanPablo dijo...

el primer problema no tiene un carajo que ver con el 2do. Está sólo para recordarme los placeres de la matemática.

Anónimo dijo...

Perdón...¿La pregunta sería si será SIEMPRE posible -amargamente de cuál sea, perdón... independientemente de cuál sea la región (de área=90% la de la esfera) que esté pintada de blanco?

Anónimo dijo...

porque sinó hay casos en que la respuesta es trivialmente: sí.

JuanPablo dijo...

corregido, muchas gracias!

independiente es la palabra más que correcta, o amargo, que es lo mismo (iba a pintar el 90 % de rojo, pero me detuvo eso)

hjg dijo...

Nueva aclaración: yo sé lo que es inscribir un cuadrado en un círculo o un cubo en una esfera, pero un cuadrado inscripto en una esfera... no estoy seguro si estamos hablando de cualquier cuadrado que tenga sus vértices sobre la esfera o del "cuadrado de tamaño máximo", pasando por el centro.
Si lo primero, la respuesta es trivialmente verdadera con sólo pedir que la superficie blanca sea más o menos decente... digamos, que tenga interior no vacío: con tomar un cuadradito muuuy chiquito debería bastar. Entonces ¿se trata sólo de los "cuadrados grandes", o debemos encarar las superficies-engendros (como "pintar de blanco los puntos que tengan alguna coordenada irracional, cosas así) ?

JuanPablo dijo...

agh!! se nota que no es mi día para plantear problemas... un cubo hay que enchufar!

Matias dijo...

Así que independiente y amargo es lo mismo? Y eso lo dice un hincha de River? Cosas veredes... Si pintás la esfera de blanco con un 10% de rojo, parece el burrito ortega.
Yendo al tema del Manchester, pareciera que creen que tienen que hacer de padres de los investigadores. Las recomendaciones que hacen son obvias. Y que por eso haya que pedirles permiso es simplemente vergonzoso.

rober dijo...

Intentemos lo contrario: pintar el 10% de la esfera (de cualquier forma) para que siempre alguno de los vértices del cubo inscrito caiga dentro. Patamos de una esfera dividida en ocho sectores iguales (cuatro en el hemisferio norte y cuatro en el sur): cualquier cubo tendrá un vértice (y sólo un vértice) en cada sector. Bastaría con pintar un sector, pero un sector tiene un 12,5%: si dejamos un 2,5% del sector sin pintar, allí podría ir el vértice. ¿Y pintando parte de un sector y parte en otro?
Por simetría, supongamos que pintamos el 5% en uno. Investigamos el sector adyacente, buscando los puntos donde puede caer el vértice, sabiendo que el del primero no puede estar en el 5% pintado. Pero si el primero tiene un 7,5% libre, el 2º tendrá, al menos un 7,5% que cubrir; lo mismo ocurre si partimos de menos (o más) porcentaje en el primer sector. ¿Se puede decir lo mismo de dividir "la mancha" en tres o más partes?. Creo que sí, pero no encuentro una explicación sencilla de la recursividad: intuyo la solución, pero no soy capaz de visualizarla en el espacio.

En definitiva, creo que siempre se podrá inscribir el cubo sin tocar "la mancha", si no es con el uso de una "mancha fractal" que, en caso de ser factible, supongo que valdría cualquier porcentaje, aunque fuera menor del 10%.

El otro problema, como dices, es más grave. Lo es tan alto grado, que no consigo entenderlo del todo. Bueno, no, más bien no consigo entender nada. Pero quizá también se solucione con un fractal ;)

JuanPablo dijo...

Buen intento, rober, y tu mención de los fractales me hace pensar en esto: si apoyo el cubo, pinto de blanco los 8 vértices, y ahora lo muevo ligeramente 'arrastrando' la pintura blanca, habré dibujado unas curvas... pero tienen medida cero. ¿cuánto puedo seguir moviendo el cubo?

matías, no te amargués, ya voy a explicar lo de 'independiente'

Santiago dijo...

No sé, pero el que se apoye en un punto rojo gana