1443.- Menos por menos es mas

Vi en morfismos la siguiente demostración de que (-1)(-1) = 1 [reemplacen a=b=1 debajo]:

ab + (-a)b + (-a)(-b) = ab + (-a)[b + (- b)] = ab + (-a)0 = ab
ab + (-a)b + (-a)(-b) = [a + (-a)]b + (-a)(-b) = 0b + (-a)(-b) = (-a)(-b)

Simple, ¿no? Se parte de una misma expresión, ab + (-a)b + (-a)(-b), y según cómo se agrupe, obtenemos ab ó (-a)(-b).

* * *

La demostración en la pág. 10 del Noriega está basada en las mismas ideas, pero es más retorcida:

Prueba que -(-a) = a (porque a es el inverso de -a, y también -(-a) es el inverso de -a, pero los inversos son únicos

Prueba que (-a)b = -(ab): parte de la expresión (-a)b + ab (que es cero, sacando factor común b) y le suma -(ab). Otra vez, tiene dos candidatos a inversos para ab y deben ser el mismo, y los obtiene reagrupando de dos formas la expresión (-a)b + ab -(ab)

Prueba que (-a)(-b) = ab usando lo anterior: (-a)(-b) = -(a(-b)) = -((-b)a) = -(-(ba)) = -(-(ab)) = ab