4.3.09

1473.- Atrapar al conejo

Un conejo está parado en el lado positivo del eje x, en el número A. Un cazador está parado en el número B del eje y. Se descubren mutuamente, y comienza la cacería. Si el conejo se aleja siempre sobre el eje x a velocidad v, y el cazador se dirige siempre hacia él a velocidad w...



...sí, ya se: si w es mayor que v lo atrapa y se puede calcular cuándo y donde. Ni cuentas hacen falta: otro cazador que vaya de B al origen, y luego camine por el eje x lo alcanza seguro, con más razón este que tiende a optimizar las cosas.

* * *


La cosa se pone interesante si v = w. Ahora está claro que no lo puede alcanzar. Pero:

a.- ¿Qué pasa con las distancias entre el cazador y el conejo? En lo posible, sin hacer cuentas, intuitivamente (con ecuaciones diferenciales se calcula al toque).

b.- ¿Cuál es la distancia límite? Es decir, a medida que pasa el tiempo, ¿qué distancia los separa al cazador y el conejo? (al principio, era raíz de A2 + B2)

8 comentarios:

hjg dijo...

Interesante.
Primero, es intuitivamente claro que el cazador se acerca, porque aunque las velocidades son iguales él la usa toda en la dirección óptima para acercarse, mientras que el conejo no (se escapa por el eje x, en lugar de escaparse en la dirección de la recta conejo-cazador).
Para ver que no lo alcanza, podemos tomar la velocidad del conejo como referencia (es decir, dejar el punto A fijo) y mirar la trayectoria del cazador tomando incrementos finitos: en esta referencia, esto equivale a mover el punto B un "delta" derechito hacia el punto A y luego moverlo atrás, horizontalmente, en el mismo delta. Se ve claramente (dibujandolo) que siempre queda detrás del eje y. Por lo tanto, la distancia al conejo no puede ser menor a A.
Es una cota, al menos.

26 dijo...

Yo veo al conejo en el punto 1 de las “x” y al cazador en el punto 1 de las “y”, están tan cerca que se tocan (es justo, justo la esquinita del eje, son “puntos” ¿se entiende?)
Pues bien cuando el cazador se lanza a la velocidad W a por el conejo y llega al punto 1 de las “x”el conejo ya llegó al punto 2. O sea en el mejor de los casos para el cazador siempre estará al menos a una distancia A del conejo y preguntándose que demonios hace persiguiendo a un conejo cuando los conejos se cazan con escopeta.

hjg dijo...

... y si no me equivoco (lo hice recién almorzando) el recorrido del cazador (relativa a la posición del conejo) es una elipse, y la distancia final es la media cuadrática entre la inicial y la cota: df = sqrt(A^2 + B^2/2)

JuanPablo dijo...

mmmmm...

me parece que hoy no llegan al 1 (uno)...

Frenzo dijo...

Para mi que el cazador eventualmente se pone detrás de la presa, sobre el eje x, recorriendo una hiperbole, pero no me salen las cuentas, profe.

hjg dijo...

mmm parece que me trajeron demasiado rápido la comida. mi deducción asumió, veo ahora, que la pendiente del angulo mitad se divide por la mitad, lo cual vendria a implicar que tan(a/2)= tan(a)/2, lo cual es una leve barbaridad.

JuanPablo dijo...

ah! y eso sólo vale para las tangentes que sean lineales... ;)

JuanPablo dijo...

frenzo, estás más cerca del 1...

lo interesante, si la curva es hiperbólica, es que la distancia crece...