Aplicando el mismo procedimiento que en el post anterior, llegariamos a que x = 4 ^ (1/4)
Pero hete aqui que 4 = 2^2 con lo cual x = 2 ^ (2/4) = sqrt(2), que era el mismo resultado del post anterior. No puede ser que para x= sqrt(2) esa exponenciacion infinita converja a 2 y a 4.
La paradoja se desata recordando que toda la deducción partió de suponer que esa igualdad se cumplia (es decir, que la exponenciacion convergia , y a ese valor). En verdad, lo que "demostramos" (bueno, mas o menos) es que: a. Si existe algun x tal que 2 = x^(x^x ... , ese x debe ser 2^(1/2) b. Si existe algun x tal que 4 = x^(x^x ... , ese x debe ser 4^(1/4) = 2^(1/2)
La paradoja implica que una de las dos igualdades (por lo menos) no se verifica. Parece que es la segunda.
Dicho de otra manera: no existe ningun x tal que 4 = x^(x^x ...
Conjetura: la ecuacion z = x ^(x^ ( ..., con z y x reales positivos, solo admite solucion para z < e , y esta viene dada por x = z^(1/z) Tengo una demostración muy elegante pero no me alcanzan los margenes del sistema de comentarios.
Conjetura: Falsa! a ver si te convenzo: x^x tiende a 1 cuando x tiende a cero (tomar log + L'H). Ahora, en las cadenas x^x^x^x...^x pares, estoy cerca de 1, pero en las impares, tengo 0^1 que es 0...
(ahora me queda la duda de quién es el usuario anónimo, pensaba que era matías)
El ejemplo es interesante, pero no entiendo por qué vendría a ser un contrejemplo de *ejm* mi conjetura...
Releela. Para refutarla, creo yo, tendrias que decirme: acá tengo un z < e (no puse extremo inferior... admitamos generosamente 0 < z < e ) para el cual NO existe un x tal que ... etc... etc...
No se si se puede conocer la x, pero convergir y converger son correctas palabras castellanas y dos formas de decir exactamente lo mismo. Con lo que también se descarta que sea yo el usuario anónimo, se descarta igualmente que yo sea el valor de x, incluso puedo descartar un seis de picas para ver si me entra full.
fuera de tópico (para variar): sin que me asesinen, una consulta:
mi hija me preguntó: qué diferencia hay entre la circunsferencia y la longitud, y yo le dije: con una mido la pelota y con la otra la ruta. (haciendo el gesto con la mano de derechito para la segunda opción y de redondito para la primera). entonces agregó: pi por radio al cuadrado, y ya me sentí superada. por favor, pueden ayudarme?
ahora esta claro. bah, mas o menos (me gustaria tenerlo claro viendolo desde x: en que rango converge y a donde) algun paper o referencia ?
---------------------------------
pini: hablando informalmente: "longitud" es lo que mide el largo una "curva" (algo unidimensional; una linea, digamos, incluyendo la linea recta) con principio y fin.
uno puede entonces hablar de la "longitud de una circunferencia" (lo que mide el perimetro de un círculo; lo que recorro al rodear una plaza circular, digamos; se mide en metros o algo parecido), como también de la longitud de un segmento de linea recta.
la longitud de una circunferencia es "pi x diametro" (ej: si la plaza mide 100 metros de diametro, su circunferencia (perimetro) mide 314.16 metros)
"pi por radio al cuadrado" mide otra cosa distinta: es el area (superficie) del circulo (en el ejemplo, la plaza ocupa 7854 'metros cuadrados')
Insisto con mi pregunta, aunque la modifico un poco: que es lo que converge? No me queda nada claro que si tengo una sucesion de numeros a1, a2, .... entonces la sucesion a1, a1^a2, a1^(a2^a3), ... en el caso de converger (o -gir), lo haga a algo que merezca llamarse a1 ^ (a2 ^ (a3 ^...) ) Cuando paso del termino enesimo de las potencias al (ene-mas-un)-esimo, poco queda del termino enesimo gracias a la no asociatividad de la potencia.
JP: no, anonymous esta vez no era yo. Puede que me corrija a mi mismo, pero contestarme las preguntas todavia no lo se hacer :)
pini: más que buena la explicación de LeónBloy. Digamos que la circunferencia es una figura geométrica en sí misma: el borde de un círculo, independiente de cuánto mida.
leonbloy: hay muy poco en la red, ahora posteo las dos urls que conozco.
matías: se arregla fácil, conseguite un desorden de personalidades múltiples y vas a ver cómo hasta empezás a preguntarte y contestarte cosas solo, y hasta a disentir con parte de vos mismo!
leonbloy: Esta sucesion tiene mas sentido para mi. El limite, en caso de existir, yo lo llamaria ....(z^(z^(z^z))) en lugar de z^(z^(...)) De todos modos me parece que es un problema mas de punto fijo que de convergencia, pese al fractal de "averiguando x III". Pongo la pregunta pertinente en ese post.
16 comentarios:
Que quiere decir "converger"?
converger no. convergir, cuando una sucesión se aproxima a un límite
esta bueno
Aplicando el mismo procedimiento que en el post anterior, llegariamos a que x = 4 ^ (1/4)
Pero hete aqui que 4 = 2^2 con lo cual x = 2 ^ (2/4) = sqrt(2), que era el mismo resultado del post anterior.
No puede ser que para x= sqrt(2) esa exponenciacion infinita converja a 2 y a 4.
La paradoja se desata recordando que toda la deducción partió de suponer que esa igualdad se cumplia (es decir, que la exponenciacion convergia , y a ese valor). En verdad, lo que "demostramos" (bueno, mas o menos) es que:
a. Si existe algun x tal que 2 = x^(x^x ... , ese x debe ser 2^(1/2)
b. Si existe algun x tal que 4 = x^(x^x ... , ese x debe ser 4^(1/4) = 2^(1/2)
La paradoja implica que una de las dos igualdades (por lo menos) no se verifica. Parece que es la segunda.
Dicho de otra manera: no existe ningun x tal que 4 = x^(x^x ...
Conjetura: la ecuacion z = x ^(x^ ( ..., con z y x reales positivos, solo admite solucion para z < e , y esta viene dada por x = z^(1/z)
Tengo una demostración muy elegante pero no me alcanzan los margenes del sistema de comentarios.
Conjetura: Falsa! a ver si te convenzo: x^x tiende a 1 cuando x tiende a cero (tomar log + L'H). Ahora, en las cadenas x^x^x^x...^x pares, estoy cerca de 1, pero en las impares, tengo 0^1 que es 0...
(ahora me queda la duda de quién es el usuario anónimo, pensaba que era matías)
El ejemplo es interesante, pero no entiendo por qué vendría a ser un contrejemplo de *ejm* mi conjetura...
Releela.
Para refutarla, creo yo, tendrias que decirme: acá tengo un z < e
(no puse extremo inferior... admitamos generosamente 0 < z < e ) para el cual NO existe un x tal que ... etc... etc...
A menos que se me escape algo.
si, fui muy impreciso: lo correcto era decir que si z = x ^(x^ ( ..., entonces admite una solucion x = z^(1/z) para z en (1/e, e)
No se si se puede conocer la x, pero convergir y converger son correctas palabras castellanas y dos formas de decir exactamente lo mismo.
Con lo que también se descarta que sea yo el usuario anónimo, se descarta igualmente que yo sea el valor de x, incluso puedo descartar un seis de picas para ver si me entra full.
fuera de tópico (para variar):
sin que me asesinen, una consulta:
mi hija me preguntó: qué diferencia hay entre la circunsferencia y la longitud, y yo le dije: con una mido la pelota y con la otra la ruta. (haciendo el gesto con la mano de derechito para la segunda opción y de redondito para la primera).
entonces agregó: pi por radio al cuadrado, y ya me sentí superada.
por favor, pueden ayudarme?
ahora esta claro.
bah, mas o menos (me gustaria tenerlo claro viendolo desde x: en que rango converge y a donde) algun paper o referencia ?
---------------------------------
pini:
hablando informalmente:
"longitud" es lo que mide el largo una "curva" (algo unidimensional; una linea, digamos, incluyendo la linea recta) con principio y fin.
uno puede entonces hablar de la "longitud de una circunferencia"
(lo que mide el perimetro de un círculo; lo que recorro al rodear una plaza circular, digamos; se mide en metros o algo parecido), como también de la longitud de un segmento de linea recta.
la longitud de una circunferencia es "pi x diametro" (ej: si la plaza mide 100 metros de diametro, su circunferencia (perimetro) mide 314.16 metros)
"pi por radio al cuadrado" mide otra cosa distinta: es el area (superficie) del circulo (en el ejemplo, la plaza ocupa 7854 'metros cuadrados')
Insisto con mi pregunta, aunque la modifico un poco: que es lo que converge?
No me queda nada claro que si tengo una sucesion de numeros a1, a2, .... entonces la sucesion
a1, a1^a2, a1^(a2^a3), ...
en el caso de converger (o -gir), lo haga a algo que merezca llamarse
a1 ^ (a2 ^ (a3 ^...) )
Cuando paso del termino enesimo de las potencias al (ene-mas-un)-esimo, poco queda del termino enesimo gracias a la no asociatividad de la potencia.
JP: no, anonymous esta vez no era yo. Puede que me corrija a mi mismo, pero contestarme las preguntas todavia no lo se hacer :)
epa! cuánta buena gente apareció por acá...
3^3-1: un gusto (re?)conocerlo!
pini: más que buena la explicación de LeónBloy. Digamos que la circunferencia es una figura geométrica en sí misma: el borde de un círculo, independiente de cuánto mida.
leonbloy: hay muy poco en la red, ahora posteo las dos urls que conozco.
matías: se arregla fácil, conseguite un desorden de personalidades múltiples y vas a ver cómo hasta empezás a preguntarte y contestarte cosas solo, y hasta a disentir con parte de vos mismo!
matias:
La sucesion puede definirse
S(1) = x
S(2) = x^x
S(3) = x^(x^x)
S(4) = x^(x^(x^x))
...
Converge si converge
lim S(n) para n->infinito
la recursion entonces es
S(n) = x^S(n-1)
Lo mismo vale si tomamos una sucesion de numeros arbitrarios a1 a2...
Pero tenes que construirla arrancando por el otro lado:
a1 , a2^a1 , a3^(a2^a1) ...
donde dice
Converge si converge lim...
debería mejor decir
Converge si existe lim...
Hipotesis:
Sea fx(0) = 1 y fx(n) = x^fx(n-1) si n >= 1.
Sea a = sup x^(1/x), (con x > 0). Entonces si 1 <= x < a, existe lim n->infty fx(n).
muchas gracias, leonbloy!
imprimiré tu comentario, anularé el mio.
qué hicieron mis profesores de matématica sacarme tan adoquín?
leonbloy: Esta sucesion tiene mas sentido para mi. El limite, en caso de existir, yo lo llamaria
....(z^(z^(z^z)))
en lugar de
z^(z^(...))
De todos modos me parece que es un problema mas de punto fijo que de convergencia, pese al fractal de "averiguando x III".
Pongo la pregunta pertinente en ese post.
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