2.5.08

1391.- Duelo

Dos tiradores están escondidos, no pueden verse, y necesitan asomarse para disparar. Si ambos se asoman y disparan simultáneamente sobrevive uno solo (ambos tienen la misma chance de sobrevivir). Si ambos se asoman pero sólo uno dispara, el que no disparó se transforma en fiambre.

La cosa se pone interesante si uno se asoma (digamos, Qérez) y el otro (digamos, Rérez) no:

-si Quérez no dispara, puede quedarse esperando a que el otro salga, y lo mata a Rérez ni bien aparezca.

-si Quérez dispara, Rérez escucha el disparo y se puede asomar, matándolo así a Quérez.

El duelo comienza a las 12:00; a las 12:30, si ninguno se asomó a tirar, serán ejecutados ambos.

* * *


Y ahora, querido lector, sin la presión de la ejecución dentro de media hora, cargue el arma, ocúltese, y cuando sepa en qué instante decide disparar, clickee en el link de comentarios y díganos cuándo lo haría.

13 comentarios:

Frenzo dijo...

Yo salgo de una, al toque, loco... y que se lo que Dios quiera.

hjg dijo...

Lindo problema. A ver si entendí bien el planteo.
Suponiendo (para empezar) un tiempo discretizado, en cada instante cada tirador tiene 3 opciones:
A: asomarse-y-disparar
B: asomarse (sin disparar)
C: quedarse escondido

En caso de que los dos decidan 'A' al mismo tiempo, muere uno (prob=1/2); si a las 12:30 los dos siguen escondidos, mueren ambos.
Pero me quedan algunas dudas.
- Que pasa si a las 12:30 Qérez estâ asomado y Rérez se quedó escondido? Supongo que Rerez muere y Qerez no, ¿no?
- Si Qérez decide asomarse a las 12:10, y Rérez decide disparar a las 12:15, muere Rérez ¿no ? (o sea, si decido asomarme y veo que el otro sigue escondido, ya gané)
Es asi?

JuanPablo dijo...

frenzo, le ganaste (en promedio) a la mitad de los que piensan como vos. El resto te hizo crema...

hernán: sí a ambas. El que se asomó sin disparar, gana 'autormáticamente' si el otro todavía no se asomó.

Fer dijo...

Se asoman los dos al principio y que sea lo que dios quiera...

Siempre hay incentivos a salir antes que el otro y no disparar, de modo que en el segundo uno del juego ya saldrán ambos...

.Mat dijo...

Yo le tiro algún problema de lógica que involucre a dos tiradores escondidos y mientras está ditraido pensandolo.. Me acerco por atras y lo mato!!.


Ah no.. no?.

MagoSP dijo...

Y si los dos se asoman a la vez y ninguno decidió disparar? Quién gana?

.Mat dijo...

Y, seguro que los vendedores de armas no.. la misma de siempre.

Frenzo dijo...

"frenzo, le ganaste (en promedio) a la mitad de los que piensan como vos. El resto te hizo crema..."

También le gané a todos lo que se quedaron escondidos. ¿O no?

JuanPablo dijo...

MagoSP, tanto tiempo! Si los dos se asoman y no disparan, deciden disparar y de nuevo la probabilidad es 1/2.

.mat, yo estaba esperando, cuando asomaste te volé la cabeza ;)

Frenzo, si te asomaste y disparaste, el resto te escucha y sale al toque: sos boleta. Si te asomaste y no disparaste, te ganaron los que se asoman y tiran, pero les ganás al resto.

Fer, es bueno tu análisis. EL principal problema a resolver es qué hacer al principio del duelo. Ojo, que cambia la cosa según que salgas y dispares o que salgas y te quedes esperando

hjg dijo...

Está complicado.
Para empezar, tratándose de un juego que se juega una sola vez, no es muy claro que tenga sentido decir que una estrategia es mejor que otra... Pero supongamos que vale hablar de probabilidades acá. Supongamos también que queremos fijar una estrategia que sea óptima en el sentido de que, fijada nuestra estrategia, en ningún caso el oponente pueda definir una estrategia que le otorgue ventaja (ni aun en el caso de conocer nuestra estrategia). El problema es evidentemente simétrico, de modo que debemos encontrar una estrategia que nos dé prob=1/2 de sobrevivir en el peor caso (es decir, con la mejor estrategia del oponente... que en el equilibrio debería equivaler a la mía).
También me parece útil notar que la estrategia no depende de la historia, sino que los tiradores bien pueden decidir al comienzo (12:30) qué van a hacer (ej: decido que a las 12:45 me asomaré sin disparar). Esto no pierde generalidad. Y como en ingun caso me conviene quedarme la media hora sin hacer nada, la estrategia equivale a especificar en que momento "hago algo" y si ese algo es "asomarse" o "disparar". Si asumimos que la estrategia será probabilística, y si empezamos tomando un tiempo discreto (para después pasar al límite) vendrá determinada por dos funciones a[n] d[n] (asomarse / disparar) con n=0..N (instantes de tiempo) con sum ( a[n] +d[n] )=1

Pero el problema tiene sus... patologías, parece; porque los razonamientos "intuitivos" tienden a "oscilar". Por ejemplo:

- ¿Conviene en algun caso la opción "dispàrar" ? Solamente si el oponente decidió asomarse en ese momento. Pero que eso ocurra precisamente un un tiempo dado parece muy improbable (es decir, si la funcion a[n] converge a una continua, esa probabilidad tiende a 0). Entonces nunca convedría disparar. Pero entonces los tiradores solo deben decidir cuando conviene asomarse.. y (si es cierto que a ninguno le conviene disparar) es obvio que conviene asomarse lo antes posible, en n=0. Pero si esa es mi estrategia, al oponente le re-contra-conviene disparar en n=0 !. Lo cual contradice violentamente mi suposicion inicial. Maldición. a[n] no puede converger a una funcion continua sino que debe tener al menos una "delta de dirac" (en 0?)....

- Otra forma de verlo: mi estrategia debe dar una probablidad de supervivencia de 1/2 (por lo menos) para cualquier estrategia del oponente. COnsideremos la estrategia del oponente: "asomarse en el instante 0". Haciendo un par de cuentas, resulta que eso me obliga a que 2 d[0] + a[0] ≥ 1 . Y juntandolo con la condicion que resulta de la estrategia del oponente: "disparar en el instante 0" obtengo que d[0] ≥ 1/3 (independientemente de la discretizacion temporal: en el instante inicial debo disparar por lo menos con prob = 1/3 !) Evidentemente, tampoco debo disparar con prob > 1/2 porque en ese caso el oponente se esconde y listo.
Tampoco basta con decidirse a "hacer algo en t=0", tirando una moneda (cargada), debo reservar algo de probablidad para hacer algo en t>0 (cuanto, cuando como ?...) Hasta acá llegué, esto pinta dificil.
Y hasta acá llegué, por ahora.

JuanPablo dijo...

hernán, muy buen análisis. Toda la teoría de juegos tiene ese problema, muchas estrategias son estrategias mixtas, una distribución de probabilidad sobre las distintas estrategias. Si voy a jugar muchas veces, debería elegirlas de acuerdo a esa distribución, para un único juego... bueno, cualquier sesgo que introduzca (si mi oponente se entera) es peligroso.

Como juego, es comparable al ajedrez: está todo a la vista, y aunque no sepa qué va a hacer mi oponente, sé qué opciones tiene (es más simétrico, incluso). La bibliografía del tema es enorme, podés buscar como 'noisy duel', esta versión es una de las más simples y viejas, de Shubik.

Alex De Large dijo...

Juan: Te felicito por el blog, me gusta.
Respecto a este problema es un caso tipic de Nash. La solucion numerica que podemos representar seria la siguiente. A ambos les conviene, si pudiesen ponerse de acuerdo, permanecer escondidos y ninguno de disparar. El problema, claro es, es el dilema del prisionero. Como Qerez no sabe que hara el otro, o no le cree, le conviene disparar. Si los individuos son identicos, Rerez tambien hara lo mismo. En equilibrio, ambos terminaran disparando, muriendo ambos. En otras palabras, llegan a un equilibrio peor que si cooperasen. Game theory, 100%.
Saludos.

JuanPablo dijo...

gracias Alex, realmente hay ejemplos lindos en este tema. Si se les permite seguir vivos al fin del duelo, la presión por disparar crea un efecto similar al del dilema del prisionero.