11.5.08

1392.- Sin cuentas

nada de partes, sustitución, ni trucos por el estilo: la integral de coseno al cuadrado de x entre 0 y dos pi es pi. En otras palabras,

$$\int_0^{2\pi} cos^2(x)dx = \pi$$

El asunto es cómo, claro.

12 comentarios:

^DiAmOnD^ dijo...

¿Vale una identidad trigonométrica?

pseudópodo dijo...

$$cos^2(x)+sen^2(x)= 1$$

La integral de la suma es entonces

$$\int_0^{2\pi} 1 dx = 2\pi$$

pero por simetría la integral del sen y la del cos tienen que ser iguales así que valen pi.

JuanPablo dijo...

my bien, tienen un 1 (uno) cada uno! (por esto, claro)

Lo encontré en uno de los EWD, ni me acuerdo el número

^DiAmOnD^ dijo...

Juan Pablo, no sé si es el sueño que tengo por las horas que son en España, pero no he entendido tu comentario :(

Juan Pablo dijo...

jajaja, el 1 es la máxima nota que puedo poner, es mayor que 10 y todo! (el ejemplo del link, de Perrón, es un buen ejemplo de la dificultad de calcular un máximo sin demostrar primero que existe, uno llega a resultados absurdos como ese)

^DiAmOnD^ dijo...

Ahhh, vale vale :D. Ahora sí :D.

Martin dijo...

Acá en análisis I enseñan la identidad trigonométrica, y es menos común hacerlo por partes.

JuanPablo dijo...

yo siempre hacía por partes una vez, y con la identidad trig. volvía a la inicial, era un ejemplo de cíclica.

Me molesta un poco no haberme dado cuenta antes de que con la identidad de entrada y por simetría sale sin hacer cuentas!!

^DiAmOnD^ dijo...

Esto...yo no me refería a esa identidad trigonométrica. Me refería a la siguiente:

cos^2(x)=(1+cos(2x))/2

Al aplicarla quedan dos integrales inmediatas muy sencillas y no necesitamos ni integración por partes ni razonamiento de simetría.

Saludos

JuanPablo dijo...

ah, no! entonces sí tenés un 1(uno) ;)

el argumento de simetría es muy bueno, no hace falta hacer ninguna cuenta, sólo usás que sen^2(x) + cos^2(x) = 1, y se puede hacer la cuenta mentalmente

hjg dijo...

sí, está lindo lo de la simetría, pero hay que decir a favor del método "tradicional" (por partes o por el reemplazo de diamond) que ese me permite obtener la integral indefinida (y por lo tanto, la integral definida entre los límites que quiera) mientras que lo otro sólo sirve para integrar entre 0 y 2pi (o sobre un rango entero de períodos)

JuanPablo dijo...

Es cierto lo que decís, sigue siendo un buen ejemplo de integral cíclica cuando uno tiene que buscar primitivas o calcular en un dominio cualquiera