29.9.08

1430.- El jardin de los senderos que se bifurcan

Una bifurcación, aún en matemáticas, es algo sencillo de describir: alcanza con unas pocas palabras. Qué digo palabras... unas pocas letras.

Una letra Y tiene una bifurcación en el punto donde se juntan los tres segmentos: el que sube, se bifurca en otros dos. La K es más compleja: un segmento vertical y un punto de bifurcación doble, de donde emanan dos nuevas curvas. La P lo es aún más: la curva que bifurca va y se cierra sobre el extremo superior del extremo vertical. Peor la R. Y la f es un caso extraño: el segmento vertical dobla, alejándose hacia la derecha, mientras en el centro del segmento se bifurca en ambas direcciones.

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[Pensemos en una matriz A, y en el sistema lineal A.x = c.x, donde c es un número y x es un vector. Para todo valor de c existe una solución del problema: el vector x=0.

Pero de vez en cuando aparecen valores de c para los cuales existe alguna solución xc distinta de cero. Es más, por linealidad (homogeneidad, para ser estrictos), todos los múltiplos de xc son soluciones, incluído el vector xc = 0. Estos valores son tan especiales que se los llama autovalores.

También se puede pensar en estos valores de c como puntos de bifurcación: si pensamos las soluciones del sistema en función de c y x simultáneamente, la línea vertical (0, c) del plano x-c pertenece a las soluciones para todo c, y en cada autovalor ci, se agrega la recta horizontal (x, ci). El diagrama de bifuración parece un peine, con rectas horizontales alejándose paralelas (si bien continúan tanto a izquierda como a derecha, no sólo en una dirección, como el trazo central de la letra f).

Los autovalores -que tanto me gustan- son la clase más aburrida de bifurcación.]

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Y ahora, atento y querido lector, con más espíritu de matemático de lo que se imagina si aguantó hasta aquí... ¿será posible una curva o diagrama donde todo punto sea de bifurcación? ¿será imaginable semejante monstruo, lugar único para leer un libro de arena?

4 comentarios:

Churi dijo...

hay uno trivial que es -u'' = l u en toda la recta. Ahi e^{l i x} es solución para todo l real y estas serian bifurcaciones del 0. Aunque supongo que estas pensando en algo mas interesante, no?

JuanPablo dijo...

claro, ese es todo el plano. Estaba pensando (yo no, en realidad) en algo más complicado

JavierK dijo...

Juan, hablando de autovalores: recordá escribirte algo sobre el buen Ernst Wolfskhel.

JuanPablo dijo...

no me olvido, en cualquier momento posteo