1430.- El jardin de los senderos que se bifurcan

Una bifurcación, aún en matemáticas, es algo sencillo de describir: alcanza con unas pocas palabras. Qué digo palabras... unas pocas letras.

Una letra Y tiene una bifurcación en el punto donde se juntan los tres segmentos: el que sube, se bifurca en otros dos. La K es más compleja: un segmento vertical y un punto de bifurcación doble, de donde emanan dos nuevas curvas. La P lo es aún más: la curva que bifurca va y se cierra sobre el extremo superior del extremo vertical. Peor la R. Y la f es un caso extraño: el segmento vertical dobla, alejándose hacia la derecha, mientras en el centro del segmento se bifurca en ambas direcciones.

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[Pensemos en una matriz A, y en el sistema lineal A.x = c.x, donde c es un número y x es un vector. Para todo valor de c existe una solución del problema: el vector x=0.

Pero de vez en cuando aparecen valores de c para los cuales existe alguna solución x_c distinta de cero. Es más, por linealidad (homogeneidad, para ser estrictos), todos los múltiplos de x_c son soluciones, incluído el vector x_c = 0. Estos valores son tan especiales que se los llama autovalores.

También se puede pensar en estos valores de c como puntos de bifurcación: si pensamos las soluciones del sistema en función de c y x simultáneamente, la línea vertical (0, c) del plano x-c pertenece a las soluciones para todo c, y en cada autovalor c_i, se agrega la recta horizontal (x, c_i). El diagrama de bifuración parece un peine, con rectas horizontales alejándose paralelas (si bien continúan tanto a izquierda como a derecha, no sólo en una dirección, como el trazo central de la letra f).

Los autovalores -que tanto me gustan- son la clase más aburrida de bifurcación.]

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Y ahora, atento y querido lector, con más espíritu de matemático de lo que se imagina si aguantó hasta aquí... ¿será posible una curva o diagrama donde todo punto sea de bifurcación? ¿será imaginable semejante monstruo, lugar único para leer un libro de arena?