23.1.06

1076.- Demostracion por el absurdo

Comenta vqp:

A mi siempre me parecio arbitraria la logica binaria: Que pasaria si la proposicion: "Si una proposicion no es verdadera, entonces es falsa", no es verdadera?
Si hay otra opcion a la logica binaria, madrina del causa-efectismo y cemento con el que esta construida la villa de emergencia matematica, no se vendra abajo todo?
Me da miedo... si eso pasa voy a tener que rendir Analisis Matematico III otra vez?

Una boludez total, poco seria, una imbecibilidad propia de... Momento, veamos las cosas con más cuidado.

Reformulemos el entrecomillado: Tenemos un enunciado y queremos saber si es verdadero o falso. Suponemos que es verdadero y llegamos a una contradicción. Luego, el enunciado es falso [también vale a la inversa: suponemos que es falso, llegamos a algo contradictorio, luego es verdadero].

Este es nada más y nada menos que el conocido método de demostración por el absurdo.

Una de las demostraciones más viejas que lo usa es:

Teorema: hay infinitos números primos.
Dem: supongamos que no, que son p1, ... , pk, y armemos el número M = p1x...xpk+1, como ninguno de los primos lo divide, o M primo, o es divisible por algún otro primo distinto de los considerados. Pero como dijimos que eran todos, tenemos el absurdo: no pueden ser finitos. Ergo, son infinitos. Copyleft: Euclides, dos coma cinco milenios atrás, en su blog en papiros "Mis Elementos".


Esta ley lógica se remonta al menos a Aristóteles, y se puede camouflar como el principio de no contradicción (si es A, no es no A), o del tercero excluído (A es B, o A no es B).

Si no es blanco es negro, diría un maniqueo, y ahí se equivocaría: Si es blanco, no es negro. Claro que tendría razón en el caso de haber sólo dos colores, entonces es blanco o es negro, y negar uno es afirmar el otro.

Alguien podría argumentar que hay más colores: verde, por ejemplo. Esa no es una objeción real: si no es blanco, puede ser negro o verde, y ahora decidimos si es negro o verde. En general, si hay finitas opciones, se puede ir descartando de a una sin llegar a contradicciones.

Pero

Si, siempre hay un pero. Si hay infinitas opciones, hace apenas una décima de milenio, unos cuantos matemáticos se hicieron mas o menos la misma pregunta de vqp. Y no sólo estaban dispuestos a voltear la villa de emergencia, sino que pensaban reescribir los cursos de Análisis III.

Si no tuvieron mayor éxito, se debe a tres razones:

a) que fueron excelentes matemáticos tradicionales,

b) que esta matemática era más que difícil, y

c) que se adelantaron por 50 años y no tenían computadoras.

15 comentarios:

JuanPablo dijo...

voy a seguir con esto, tal vez la única oportunidad de una verdadera fractura en las matemáticas en dos escuelas diferentes, en dos paradigmas.

cienveces dijo...

en el Gamut hay un capítulo, creo que es el V, de lógicas no binarias.

Muzarelax dijo...

La verdad no me queda nada claro porque fallaron... que es un matematico "no tradicional"? De que tipo de matematica se hablaria en logica no binaria y por que necesitan las computadoras? (por mi parte, zafe, porque llegue solo hasta Analisis II)

Anónimo dijo...

Hola! Estoy escribiendo sobre blogs de ciencia en argentina, te puedo entrevistar vía mail?
Muy bueno tu blog
Saludos
Ana

JuanPablo dijo...

gracias por la referencia, 100 veces (¿carlos?), lástima que no lo tengo, pero voy a ver si lo encuentro en la facultad.

muza, voy a ir posteando sobre la cosa. Fallaron en que se siguen aceptando las demostraciones basadas en el absurdo, las pruebas de existencia no constructivas, etc. Igual, no zafás: creo que uno de los primeros teoremas que se caen es el de Bolzano, bien de análisis 1

JuanPablo dijo...

hola ana, ningún problema, está en el perfil (y ahora lo agrego en la página)

Anónimo dijo...

Creo que una referencia fundamental es "Intuitionism, an introduction" de Heyting. Yo empecé a leerlo, pero no pude avanzar mucho: mi formación matemática es muy deficiente. Sin embargo el primer capítulo es muy accesible y el estilo muy ameno.

JuanPablo dijo...

el diálogo entre distintos tipos de matemáticos! desde el siglo pasado que no lo veo... si lo tuviera a mano, hago copy&paste y no haría falta escribir nada.

Muzarelax dijo...

Ya me lo sospechaba... aunque el teorema de Bolzano es tan "tonto" que no me extraña que sea el primero que se caiga (era el de que una funcion continua y acotada que vale, por ej., -1 en un extremo y 1 en el otro, por algun lado cruza el cero, no?)

JuanPablo dijo...

ese teoremita se demuestra fácil: tomás el supremo (?) de los x donde f es negativa, y ahora demostrás que no es menor y que no es mayor a cero, de donde se conluye que es cero... varios pasos clásicos que un intuicionista objetaría.

el (?) no es porque no sepamos qué es el supremo, sino que no sabemos quién es.

vqp dijo...

Estuve leyendo un poco en wikipedia... no sabia que habia tantas alternativas a la logica clasica.

Me llamo la atencion tu frase "fallaron porque todavia se siguen aceptando las demostraciones por el absurdo..."

Que pasaria si hubiera un cisma en la ciencia y hubiera revistas cientificas exclusivas de intuicionistas, en los que solo se pueden usar resultados previos intuicionistas.

En realidad, para cada tipo de logica, deberia haber una comunidad que solo "consumiera" esa logica. Serian como religiones porque solo se diferencian por los "axiomas" que solamente pueden ser aceptados en un acto de "fe" (i.e. no son probables)

Cual seria la "religion" que mejor se adaptaria a la experiencia en el mundo real?.

No sera que los problemas que tenemos (bah!, tienen los cientificos) ahora para entender ciertos procesos fisicos se deben a que profesamos la religion incorrecta?

...(imagen se desvanece con musica de los expedientes X)...

El blogudo dijo...

¿Y cómo se aplicaría entonces en el postulado "TODO es relativo y NADA es absoluto..."?
¿No vendría a ser eso una paradoja, dado que postula lo absoluto de la relatividad y al mismo tiempo la negación de lo absoluto?

JuanPablo dijo...

blogudo (de paso, lindo tu blog, hoy anduve por ahí, creo que desde el de peste), el postulado es una deformación de la teoría de la relatividad de Einstein, sospecho que deformado por gente que conoce poco del tema...

Paradójicamente, si algo postuló Einstein, es que la velocidad de la luz era absoluta! y lo que se vuelve relativo al observador es el tiempo: hay un tiempo local, no un tiempo absoluto (como se creía).

Anónimo dijo...

No he leído los otros comentarios, pero hay un error en el argumento de los colores, relacionada a la demostración por reducción al absurdo.
El asunto es el siguiente:
1) Demostremos q algo "no es blanco"
2) Supongamos, en primer lugar q es blanco
3) Si a través del proceso de búsqueda descubrimos q ese algo tiene una característica verdosa, entonces queda demostrado que "no es blanco"

La reducción al absurdo no se usa para demostrar teoremas como verdaderos; se usa para demostrar que SON FALSOS.

JuanPablo dijo...

anonymus, la negación se utiliza para demostrar teoremas, no importa el valor de verdad de las proposiciones.

A implica B se demuestra por el absurdo mostrando que A y no B es imposible, no veo cuál es el error al que te referís.

Está claro que si hubiera sólo dos colores, demostrando que no es negro, probás que es blanco!

Pero si agregás blanco, verde y negro, demostrar que no es verde ni negro demuestra que es blanco.

Tal vez podrías aclarar un poco más tu posición en este tema.