1.11.06

1201.- Irracionales (II)

Y antes de meterme con cosas realmente irracionales, otra demostración sencilla y fácil de recordar, que utiliza sólo la definición de logaritmo: log2(3) es irracional. Veamos:

Si log2(3)=a/b con a, b enteros,

2(a/b)=3, o sea

2a=3b,

lo cual no puede ser porque un lado es múltiplo exclusivamente de 2 y el otro de 3.

No es difícil demostrar en la misma línea que si m no es una potencia de n, entonces logn(m) no puede ser racional.

Y sobre la irracionalidad en general, pero en otro tema, les recomiendo este excelente post de Alejandro. Pensaba dejarle un comment, pero mejor lo incluyo acá: can I ask if mathematics is 'rational'? (that is, self-consistent or non-contradictory)

7 comentarios:

Alejandro dijo...

Gracias por el link! Sobre la pregunta, yo no diria que "racional" significa lo mismo que "consistente o sin contradicciones". La pregunta por la consistencia es una pregunta tecnica, para investigar dentro de la matematica misma (y que si no entendi mal a Godel, esta demostrado que si es consistente esto no podra nunca ser demostrado). La pregunta por la racionalidad es si es "racional" aceptar las verdades matematicas, y aca no me parece que haya duda que la respuesta es afirmativa. No hay nada que podamos demostrar con mayor certeza, asi que mientras no se descubran contradicciones, tenemos derecho a aceptarla como correcta. Al menos, la cosa es facil en tanto no nos pongamos a filosofar sobre que son en si las verdades matematicas, o a considerar casos muy "border" como el axioma de eleccion.

Y ya que estamos, conoces esa cita de algun matematico famoso pero no me acuerdo cual, que dice: "Dios existe porque la aritmetica es consistente, y el diablo existe porque no podemos demostrarlo"?

JuanPablo dijo...

de nada! me parece un muy buen post el tuyo, aunque no comparta algunas cosas. Mencioné consistencia y no contradicción porque son algunas de las características que señalabas en tu post.

Hay otro argumento contra 2, que me voy a restringir a considerarlo para tu frase La pregunta por la racionalidad es si es "racional" aceptar las verdades matematicas, y aca no me parece que haya duda que la respuesta es afirmativa. El problema que les veo es cuál es la verdad matemática, porque esto no sólo depende del sistema de axiomas que elijas, sino de la lógica que vayas a emplear. Hay resultados que de un lado son demostrados como ciertos, y del otro son demostrados como falsos.

Por ejemplo, mencionás al axioma de elección, y te diría que lejos de ser "border", es indispensable en la matemática actual. En exactas, te aparece en todos lados a partir de segundo año, salvo en ecuaciones diferenciales, pero porque no le agarra(mos)ron la onda ;), y dependen de él teoremas fundamentales: Hanh-Banach; Banach-Alaoglu; gráfico cerrado; función abierta... ¡casi todo el análisis funcional!, y hasta el teorema de equivalencia de Lax de análisis numérico. Otros ejemplos son la existencia de bases en espacios vectoriales (o en espacios de Hilbert, o en extensiones trascentes para cuerpos); de ideales maximales; de clausuras algebraicas; la teoría de cardinales; Tijonov; compactificaciones; gran parte de la teoría de categorías; gran parte del análisis real...

dotuev dijo...

estas demostraciones cortitas y al pie de irracionalidad están tan buenas que estoy empezando a creer que realmente existen números que son irracionales

Alejandro dijo...

Esta bien, meti la pata con lo del axioma de induccion...es que habia leido hace poco una discusion en el n-Category Cafe y en particular este comment de John Baez que dice que el axioma no es necesario para los calculos que se hacen en fisica... Que son lo unico importante de la matematica, no?

No, ya se que no. No tiren piedras.

JuanPablo dijo...

jajajaja!

ok, en un hilbert separable (que te sobra para la cuántica), es suficiente, pero en el resto de las matemáticas no.

Lo extraño es que tal vez no alcance para las cuentas tampoco, por ejemplo, no podés demostrar la convergencia de métodos numéricos para la solución de ecuaciones diferenciales sin pasar por el axioma!

Alejandro dijo...

Oviamente, en mi comment anterior induccion => eleccion

JuanPablo dijo...

(y), de hecho, si es inducción transfinita son lo mismo